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考研数学1~7章测试

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

y = e^{\sin x}

, 则微分

d y =

A.

e^{\sin x} d x

B.

e^{\sin x} d \sin x

C.

e^{\sin x}

D.

e^{\sin x} \cos x

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lim_{x \to + \infty} x^{2} (\sin \frac{1}{x - 1} - \sin \frac{1}{x + 1}) =

A.

B.

-1

C.

D.

-2

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3. 设周期函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内可导, 周期为 4 , 又

lim_{x \to 0} \frac{f (1) - f (1 - x)}{2 x} = - 1

,则曲线

y = f (x)

在

x = 5

处切线斜率为

A.

\frac{1}{2}

B.

C.

-1

D.

-2

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4. 设

lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{\tan x} - e^{\sin a x}}{\int_{0}^{e^{x^{2}} - 1} \frac{\ln (1 + \sqrt{t})}{\sqrt{b + t^{2}}} d t} = \frac{3}{2}

, 则

()

A.

a = - 1, b = 2

B.

a = - 1, b = 4

C.

a = 1, b = 2

D.

a = 1, b = 4

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5. . 当

x \to 0

时, 若

x - \tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小, 则

k =

A.

1 .

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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6. 若

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

, 则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

连续点

C.

第二类间断点

D.

跳跃间断点

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7. 设函数

f_{i} (x) (i = 1, 2)

具有二阶连续导数, 且

f_{i}^{''} (x_{0}) < 0 (i = 1, 2)

.若两条曲线

y = f_{i} (x) (i = 1, 2)

在点

(x_{0}, y_{0})

处具有公切线

y = g (x)

, 且该点处曲线

y = f_{1} (x)

的曲率大于曲线

y = f_{2} (x)

的曲率, 则在

x_{0}

的某个邻域内，有 ( )

A.

f_{1} (x) \leq f_{2} (x) \leq g (x)

B.

f_{2} (x) \leq f_{1} (x) \leq g (x)

C.

f_{1} (x) \leq g (x) \leq f_{2} (x)

D.

f_{2} (x) \leq g (x) \leq f_{1} (x)

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8. 设函数

f (x)

连续，给出下列四个条件：
（1）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) | - f (0)}{x}

存在；
（2）

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - | f (0) |}{x}

存在；
（3）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) |}{x}

存在；
（4）

lim_{x \to 0} \frac{| f (x) | - | f (0) |}{x}

存在；
其中能得到＂

f (x)

在

x = 0

处可导＂的条件个数是（）。

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设连续函数

f (x, y)

满足

lim_{\begin{matrix} x \to 0 \\ y \to 0 \end{matrix}} \frac{f (x, y) - x - 2 y - 1}{x^{2} + y^{2}} = 1

, 则

lim_{h \to 0} \frac{f (3 h, 0) - f (0, h)}{h} =

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10. 抛物线

y = x^{2} - x

在点

(1, 0)

处的曲率是:

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11. 设

y = \sin^{2} x

, 则

y^{(8)} (0) =

________ .

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12.

lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3})}^{n}

其中

a > 0, b > 0, c > 0

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13.

lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n^{2} + n + 1} + \frac{2}{n^{2} + n + 2} + \dots + \frac{n}{n^{2} + n + n})

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14. 设函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上具有一阶连续导数, 证明:

\int_{a}^{b} \sqrt{1 + {[f^{'} (x)]}^{2}} d x \geq \sqrt{(a - b)^{2} + [f (a) - f (b)]^{2}}

, 并给出等号成立的条件.

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15. 证明: 若函数

f (x)

在闭区间

[a, b]

上连续, 则在开区间

(a, b)

内至少存在一点

ξ

, 使

\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a)

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16. 讨论方程

\frac{1}{x} - \frac{1}{e^{x} - 1} = a

在

(- \infty, 0)

与

(0, + \infty)

内根的个数.

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17. 对函数

e^{x^{2}}

在

[0, x] (x > 0)

上应用积分中值定理，有

\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t = x e^{θ (x) x^{2}}

其中

θ (x) \in (0, 1)

，计算

lim_{x \to + \infty} θ (x)

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18. 求数列的极限

lim_{n \to \infty} (\sin \sqrt{n + 1} - \sin \sqrt{n})

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19. 证明函数

y = f (x) = \sqrt[3]{x}

在区间

(- \infty, + \infty)

内连续，但在点

x = 0

处不可导

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20. 求

lim_{x \to + \infty} {(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^{x} - 1}{a - 1})}^{\frac{1}{x}}

，其中

a > 0, a \neq 1

．

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