一、单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
1. 设函数 $f(x)$ 连续, 则下列结论不成立的是
$\text{A.}$ $\int_0^\pi f(\sin x) \mathrm{d} x=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^\pi x f(\sin x) \mathrm{d} x=\pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \mathrm{d} x$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
$\text{D.}$ $\int_{-1}^1 x f(x) \mathrm{d} x=\int_0^1 x[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x$
2. 函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 必要条件
$\text{B.}$ 充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
3. 设 $I_k=\int_0^{k \pi} e^{x^2} \sin x \mathrm{~d} x(k=1,2,3)$ ，则有
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
$\text{C.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{D.}$ $I_2 < I_1 < I_3$
4. 若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int f(2 x+3) d x=$
$\text{A.}$ $F(2 x+3)$
$\text{B.}$ $2 F(2 x+3)+\mathrm{C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)+C$
5. 下列反常积分发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{x d x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} d x$
$\text{D.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x$
6. 设 $a \neq b$, 若 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{e}^{-a x}-\mathrm{e}^{-b x}}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛,则 $a, b$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$.
$\text{B.}$ $a < 0, b>0$.
$\text{C.}$ $a>0, b < 0$.
$\text{D.}$ $a>0, b>0$.
7. 设函数 $f^{\prime}(x)$ 连续, 则 $\int f^{\prime}(2 x) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $f(2 x)+c$;
$\text{B.}$ $2 f(x)+c$;
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} f(2 x)+c$;
$\text{D.}$ $x f(2 x)+c$.
8. 若 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int f(a x+b) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a F(a x+b)+C$
$\text{B.}$ $\frac{F(a x+b)}{a}+C$
$\text{C.}$ $\frac{F(x)}{a}+C$
$\text{D.}$ $a F ( x )+C$
9. 求函数 $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} d x$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{8}$.
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$.
$\text{D.}$ $\pi$.
$\text{E.}$ $2 \pi$.
二、填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
10. (1)$\int \arcsin xdx= \underline { \quad \quad \quad }$.
(2) $\int \dfrac {x^{2}}{1+x^{2}} \cdot \arctan xdx= \underline { \quad \quad \quad }$.
11. 设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln t}{1+t} \mathrm{~d} t$ ，其中 $x>0$ ，求 $f(x)+f\left(\frac{1}{x}\right)$.
12. 计算不定积分 $\int \frac{\ln \ln x}{x} d x$
13. 求不定积分 $\int e ^x \cos \left(2 e ^x\right) d x$;
三、解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
14. 设 $f(x)$ 连续, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) d t\right]^{({tan} x-x) \ln (1+x)}$.
15. 求不定积分 $\int \sin \sqrt{x} \mathrm{~d} x$.
17. $\int \frac{1}{x(1+2 \ln x)} d x$
19. $\int \frac{x^5}{\sqrt{1-x^2}} d x$
20. 计算 $\int_0^1 \frac{1}{(x+1)\left(x^2-2 x+2\right)} d x$ ．
21. 求 $\int \frac{1}{3+2 x} d x$ ．
22. 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{n}{n}}\right)$ ；
23. $\int_0^\pi \sqrt{1+\cos 2 x} d x$.
24. 计算 $\int_0^a \frac{d x}{x+\sqrt{a^2-x^2}}$ ；