一、单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
1. 二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3$ 的正惯性指数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
2. 设 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 是 $n$ 维向量, $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关, $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关, 且 $\alpha_{1+} \alpha_2+\alpha_4=0$, 在空间直角坐标系 $O-x y z$ 中, 关于 $x, y, z$ 的方程组 $x \alpha_1+y \alpha_2+z \alpha_3=\alpha_4$ 的几何图形是
$\text{A.}$ 过原点的一个平面
$\text{B.}$ 过原点的一条直线
$\text{C.}$ 不过原点的一个平面
$\text{D.}$ 不过原点的一条直线
3. 设 $n$ 阶矩阵 $A, B, C$ 满足 $r(A)+r(B)+r(C)=r(A B C)+2 n$, 给出下列四个结论:
(2) $r(A B C)+n=r(A B)+r(C) ;$
(2) $r(A B)+n=r(A)+r(B)$;
(3) $r(A)=r(B)=r(C)=n$;
(3) $r(A B)=r(B C)=n$ ，其中正确的选项是
$\text{A.}$ (1)(2)
$\text{B.}$ (1)(3)
$\text{C.}$ (2)(4)
$\text{D.}$ (3)(4)
4. 设矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 0 & b\end{array}\right)$ 有一个正特征值和两个负特征值, 则 ( )
$\text{A.}$ $a>4, b>0$
$\text{B.}$ $a < 4, b>0$
$\text{C.}$ $a>4, b < 0$
$\text{D.}$ $a < 4, b < 0$
5. 下列矩阵中, 可以经过若干初等行变换得到矩阵 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 的是
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & 4\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 3\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 & 6\end{array}\right)$
6. 设 3 阶矩阵 $A, B$ 满足 $r(A B)=r(B A)+1$, 则
$\text{A.}$ 方程组 $(A+B) x=0$ 只有零解
$\text{B.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 均只有零解
$\text{C.}$ 方程组 $A x=0$ 与方程组 $B x=0$ 没有公共非零解
$\text{D.}$ 方程组 $A B A x=0$ 与方程组 $B A B x=0$ 有公共非零解
7. $A$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\beta$ 是 $m$ 维非零列向量, 若 $A$ 有 $k$ 阶非零子式, 则
$\text{A.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{B.}$ 当 $k=m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
$\text{C.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 有解.
$\text{D.}$ 当 $k < m$ 时, $A x = \beta$ 无解.
8. 设 $A$ 为 3 阶矩阵, 则 " $A ^3- A ^2$ " 可对角化是 " $A$ 可对角化" 的
$\text{A.}$ 充分但不必要条件
$\text{B.}$ 必要但不充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
9. 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -a\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & a\end{array}\right)$, 若 $f(x, y)=|x A +y B |$ 是正定二次型, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(0,2-\sqrt{3})$
$\text{B.}$ $(2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$
$\text{C.}$ $(2+\sqrt{3}, 4)$
$\text{D.}$ $(0,4)$
二、填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
10. 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}4 & 2 & -3 \\ a & 3 & -4 \\ b & 5 & -7\end{array}\right)$ 若方程组 $A^2 x=0$ 与 $A x=0$ 不同解则 $a-b=$
11. 设矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$, 若 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 且 $\alpha_1+\alpha_2=\alpha_3+\alpha_4$, 则方程组 $A x=\alpha_1+4 \alpha_4$ 的通解为 $x=$
12. 已知 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 3 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -3 & 4 x & -2 \\ 2 x+1 & 2 & 2 x+1 & 1 \\ 2 x & -4 & 4 x & -2\end{array}\right|, g(x)=\left|\begin{array}{cccc}2 x+1 & 1 & 2 x+1 & 3 \\ 5 x+1 & -2 & 4 x & -3 \\ 0 & 1 & 2 x+1 & 2 \\ 2 x & -2 & 4 x & -4\end{array}\right|$, 则方程 $f(x)=g(x)$ 的不同的根的个数为
三、解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
13. 设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 已知 1 是 A 的特征多项式的重根
(1) 求 $a$ 的值
(2) 求所有满足 $A^2 a=a+2 \beta$
$A a=a+\beta$ 非零列向量 $a, \beta$
14. 已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & a\end{array}\right)$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 合同.
(1)求 $a$ 的值及 $k$ 的取值范围:
(2) 若存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^T A Q=B$, 求 $k$ 及 $Q$.
15. 设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccccc}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -2 & -a & -1 \\ 1 & 1 & a & 2 & 3\end{array}\right)$ 的秩为 2 .
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求 $A$ 的列向量组的一个极大线性无关组 $\alpha , \beta$, 并求矩阵 $H$, 使得 $A = G H$, 其中 $G =( \alpha , \beta )$.