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1999概率真题

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 3 题），每题只有一个选项正确

1. 设两个相互独立的随机变量

X

和

Y

分别服从

N (0, 1)

和

N (1, 1)

，则

A.

P (X + Y \leq 0) = \frac{1}{2}

B.

P (X + Y \leq 1) = \frac{1}{2}

C.

P (X - Y \leq 0) = \frac{1}{2}

D.

P (X - Y \leq 1) = \frac{1}{2}

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2. 设随机变量

X

和

Y

的方差存在且不等于 0 ，则

D (X + Y) = D X + D Y

是

X

和

Y

A.

不相关的充分条件，但不是必要条件

B.

独立的必要条件，但不是充分条件

C.

不相关的充要条件

D.

独立的充要条件

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3. 设

X

服从指数分布，则

Y = min {X, 2}

的分布函数

A.

是连续函数

B.

至少有两个间断点

C.

是阶梯函数

D.

恰有一个间断点

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

4. 设两两相互独立的三事件

A, B

和

C

满足条件:

A B C = \emptyset

P (A) = P (B) = P (C) < \frac{1}{2}, P (A \cup B \cup C) = \frac{9}{16}

则

P (A) =

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5. 设

X

服从参数为

λ

的泊松(Poisson)分布，且已知

E [(X - 1) (X - 2)] = 1

, 则

λ =

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6. 在天平上重复称量一重为

a

的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布

N (a, {0.2}^{2})

，若以

\overset{―}{X_{n}}

表示

n

次称量结果的算术平均值，则为使

P {| \overset{―}{X_{n}} - a | < 0.1} \geq 0.95 ，

则

n

的最小值应不小于自然数

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7. 设随机变量

X_{i j} (i, j = 1, 2, \dots, n; n \geq 2)

独立同分布，

E X_{i j} = 2

，则行列式

Y = | \begin{array}{llll} X_{11} & X_{12} & \dots & X_{1 n} \\ X_{21} & X_{22} & \dots & X_{2 n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ X_{n 1} & X_{n 2} & \dots & X_{n n} \end{array} |

的数学期望

E Y =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 设随机变量

X

和

Y

相互独立，下表列出了二维随机变量

(X, Y)

联合分布律及关于

X

和关于

Y

的边缘分布中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.

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9. 设总体

X

的概率密度为

f (x) = {\begin{array}{cc} \frac{6 x}{θ^{3}} (θ - x), & 0 < x < θ \\ 0, & 其 他 \end{array}

X_{1}, X_{2}, \dots X_{n}

是取自总体

X

的简单随机样本.
(1) 求

θ

的矩估计量

\hat{θ}

;
(2) 求

\hat{θ}

的方差

D (\hat{θ})

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10. 设二维随机变量

(X, Y)

在矩形

G = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1}

上服从均匀分布，试求边长为

X

和

Y

的矩形面积

S

的概率密度

f (s)

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11. 假设二维随机变量

(X, Y)

，在矩形

G = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 1}

上服从均匀分布，记

U = {\begin{cases} 0 & X \leq Y \\ 1 & X > Y \end{cases}, V = {\begin{cases} 0 & X \leq 2 Y \\ 1 & X > 2 Y \end{cases}

.
(1) 求

U

和

V

的联合分布; (2) 求

U

和

V

的相关系数

ρ

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12. 已知随机变量

X_{1}

和

X_{2}

的概率分布

\begin{aligned} X_{1} \sim [\begin{array}{ccc} - 1 & 0 & 1 \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{array}], X_{2} \sim [\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}] \\ 且 P {X_{1} X_{2} = 0} = 1 . \end{aligned}

(1) 求

X_{1}

和

X_{2}

的联合分布;
(2) 问

X_{1}

和

X_{2}

是否独立? 为什么?

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13. 设

X_{1}, X_{2}, \dots X_{9}

是来自正态总体

X

的简单随机样本，

\begin{aligned} Y_{1} = \frac{1}{6} (X_{1} + \dots + X_{6}), Y_{2} = \frac{1}{3} (X_{7} + X_{8} + X_{9}) \\ S^{2} = \frac{1}{2} \sum_{i = 7}^{9} {(X_{i} - Y_{2})}^{2}, Z = \frac{\sqrt{2} (Y_{1} - Y_{2})}{S} \end{aligned}

证明统计量

Z

服从自由度为 2 的

t

分布.

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