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高数信心打击卷

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

f (x) = \frac{x \ln | x |}{| x - 1 |} e^{\frac{1}{(x - 1) (x - 2)}}

的无穷间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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2. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 - e^{\frac{3}{x}}} + \frac{\ln (1 - a x)}{| x |}, & x \neq 0 \\ b, & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续, 则

A.

a = 1, b = - 1

B.

a = - 1, b = 1

C.

a = 1, b = 1

D.

a = - 1, b = - 1

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3. 极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x^{2}} - 1}{\cos x - 1} =

A.

B.

\infty

C.

D.

- 2

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4. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

, 则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导.

B.

恰有一个不可导点.

C.

恰有两个不可导点.

D.

至少有三个不可导点.

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lim_{x \to 0} \frac{a \tan x + b (1 - \cos x)}{c \ln (1 - 2 x) + d (1 - e^{- x^{2}})} = 2

, 其中

a^{2} + c^{2} \neq 0

, 则必有

A.

b = 4 d

B.

b = - 4 d

C.

a = 4 c

D.

a = - 4 c

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lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{4}} =

A.

B.

- \frac{1}{6}

C.

- \frac{1}{8}

D.

- \frac{1}{12}

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7. 设

f (x) = \frac{| x^{2} - 1 |}{x^{2} - x - 2} \arctan \frac{1}{x}

, 则

A.

f (x)

有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点

B.

f (x)

有两个可去间断点,一个第二类间断点

C.

f (x)

有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点

D.

f (x)

有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点

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8. 若

lim_{x \to 0} \frac{\cos (x e^{x}) - e^{- \frac{x^{2}}{2} e^{2 x}}}{x^{α}} = β \neq 0

则

A.

α = 2, β = - 1

B.

α = 3, β = - \frac{1}{6}

C.

α = 4, β = - \frac{1}{12}

D.

α = 5, β = - \frac{1}{8}

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9. 若

lim_{x \to 0} \frac{a x^{2} + b x + 1 - e^{x^{2} - 2 x}}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 5, b = - 2

B.

a = - 2, b = 5

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 4, b = - 4

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10. 函数

f (x) = \frac{(x + 1) | x - 1 |}{e^{\frac{1}{x - 2}} \ln | x |}

的可去间断点的个数为

A.

B.

C.

D.

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11. 设

f (x) = lim_{n \to \infty} (x - 1) \arctan | x |^{n}

, 则

A.

x = - 1

为

f (x)

的第一类间断点.

B.

x = 1

为

f (x)

的第一类间断点.

C.

x = - 1

为

f (x)

的第二类间断点.

D.

x = 1

为

f (x)

的第二类间断点.

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12.

lim_{x \to 0} \frac{(\cos x - \sqrt{\cos x}) \sin (\sin x)}{[x - \ln (1 + \tan x)] (e^{x} - 1)} =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{3}

C.

- \frac{1}{2}

D.

- \frac{1}{3}

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13. 函数

f (x) = (x^{2} - 4 x) | x 2^{| x |} - x^{3} |

的不可导点的个数为

A.

B.

C.

D.

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14. 设

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x}} - 1}{e^{\frac{1}{x}} + 1}

则

x = 0

是

f (x)

的

A.

可去间断点

B.

跳跃间断点

C.

第二类间断点

D.

连续点

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15. 当

x \to 1

时, 函数

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限

A.

等于 2 .

B.

等于 0 。

C.

为

\infty

。

D.

不存在但不为

\infty

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16. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - (a x + b x^{2})}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 1, b = - \frac{5}{2}

B.

a = 0, b = - 2

C.

a = 0, b = - \frac{5}{2}

D.

a = 1, b = - 2

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17. 设数列通项

x_{n} = {\begin{cases} \frac{n^{2} + \sqrt{n}}{n}, & n 为奇数, \\ \frac{1}{n}, & n 为偶数. \end{cases}

则当

n \to \infty

时,

x_{n}

是

A.

无穷大量.

B.

无穷小量.

C.

有界变量.

D.

无界变量.

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18. 函数

f (x) = \frac{e^{\frac{1}{x - 1}} \ln | 1 + x |}{(e^{x} - 1) (x - 2)}

的第二类间断点的个数为

A.

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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19. 设函数

f (x) = \frac{\ln | x |}{| x - 1 |} \sin x

, 则

f (x)

有

A.

有 1 个可去间断点, 1 个跳跃间断点.

B.

有 1 个可去间断点, 1 个无穷间断点.

C.

有两个无穷间断点.

D.

有两个跳跃间断点.

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二、填空题（共 13 题），请把答案直接填写在答题纸上

20.

lim_{x \to 0} [\frac{1}{e^{x} - 1} - \frac{1}{\ln (1 + x)}] =

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21. 设

{\begin{matrix} x = \sqrt{t^{2} + 1} \\ y = \ln (t + \sqrt{t^{2} + 1}) \end{matrix}

, 则

{\frac{d^{2} y}{d x^{2}} |}_{t = 1} =

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22. 已知

f^{'} (1) = 8

, 则

lim_{x \to 0} \frac{f (1 - x^{2}) - f (1)}{1 - \cos x} =

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23.

y = (x^{2} - 5 x + 6) | x^{3} - 3 x^{2} + 2 x |

的不可导点的个数为 ________ 个

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24. 若

x \to 0

时，函数

\cos x - \frac{c + 9 x^{2}}{c + 4 x^{2}}

是

x^{2}

的高阶无穷小，则

c =

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25. 函数

f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} - 1} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}

的无穷间断点的个数为

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26. 已知极限

lim_{x \to 0} [a x \ln (1 + e^{\frac{1}{x}}) - arccot \frac{1}{x}]

存在, 则

a =

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27. 已知

x = 0

是

f (x) = \frac{x + b \ln (1 + x)}{a x - \sin x}

的可去间断点，求

a, b

的取值范围

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28. 写出

f (x) = lim_{n \to + \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

的所有间断点及其所属类型

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29. 写出

f (x) = lim_{n \to + \infty} \frac{1 + x}{1 + x^{2 n}}

的所有间断点及其所属类型

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30. 若函数

y = {\begin{cases} (x + a)^{2} + b, & x < 0 \\ e^{x}, & x ⩾ 0 \end{cases}

在

x = 0

可导, 则

a =

b =

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31. 若函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{\sin 2 x + e^{2 a x} - 1}{x}, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

在

(- \infty, + \infty)

内连续, 则

a =

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32.

lim_{n \to \infty} {(\cos \frac{1}{n})}^{n^{2}} =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

33.

lim_{x \to 0} \frac{(2 + 3 \sin x)^{x} - 2^{x}}{\tan^{2} x - 4 x^{3}}

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34. 求极限:

lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{x} - (\sin x)^{x}}{x^{3}}

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35. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) \cos x^{2}}{\cos x - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}

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36. 求极限:

lim_{x \to 0} {[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}]}^{\frac{1}{1 - \cos x}}

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37. 求

lim_{x \to 0} {(\frac{\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{x})}^{\frac{1}{\ln^{2} (1 + x)}}

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38. 求函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{x^{2} + 2 x}{(e^{x} - 1) (x + 2)}, & x < 0 \\ \frac{x}{x - 1}, & x \geq 0 \end{cases}

的间断点, 并判断类型。

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39.

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{4}} + (1 - \sin x)^{\frac{1}{4}} - 2}{x^{2}}

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40. 设

f (x)

在

(0, 1)

上有定义, 且

e^{x f (x)}

和

e^{- f (x)}

都在

(0, 1)

内单调不减, 求证:

f (x)

在

(0, 1)

内连续.

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