2023普通高等学校微积分专项练习-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求极限:
$$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right]^{\frac{1}{1-\cos x}}$$

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我来讲解

答案：

我们知道 $x \rightarrow 0$ 时，
$\sin x \rightarrow 0, \quad \arctan x \rightarrow 0, \quad \sin x \sim x$,
$\ln (x+1) \sim x$
由于 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{\arctan x}=1$
因此有:
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right]^{\frac{1}{1-\cos x}} \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x} \ln \left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right] \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x} \ln \left[\left(\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}-1\right)+1\right] \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}-1\right] \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\left[\frac{\sin (\sin x)-\sin (\arctan x)}{\sin (\arctan x)}\right]
\end{aligned}
$$

对于 $\sin (\sin x)-\sin (\arctan x)$
由拉格朗日中值定理可知，
存在 $\xi \in(\arctan x, \sin x)$
使得
$$
\frac{\sin (\sin x)-\sin (\arctan x)}{\sin x-\arctan x}=\cos (\xi)
$$
且 $\arctan x \rightarrow 0, \sin x \rightarrow 0$
故 $\xi \rightarrow 0, \cos (\xi) \rightarrow 1$
则 $[\sin (\sin x)-\sin (\arctan x)] \sim(\sin x-\arctan x)$
常用的等价无穷小替换:
$(\sin x-\arctan x) \sim \frac{1}{6} x^3$
$\arctan x \sim x$
由此可得:

$$
\begin{aligned}
& \exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\left[\frac{\sin (\sin x)-\sin (\arctan x)}{\sin (\arctan x)}\right] \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{1-\cos x}\left(\frac{\sin x-\arctan x}{\arctan x}\right) \\
& =\exp \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\frac{1}{2} x^2} \times \frac{\frac{1}{6} x^3}{x} \\
& =\exp \frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
综上: $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{\sin (\sin x)}{\sin (\arctan x)}\right]^{\frac{1}{1-\cos x}}=e^{\frac{1}{3}}$

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