2023普通高等学校微积分专项练习-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求极限: $$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}\right) \cos x^2}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}
$$

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答案：

简化一下表达式: $x \rightarrow 0$ 时 $\cos x^2 \rightarrow 1$
因此原式等价于 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}$
如果用等价无穷小， $\sqrt{1+x^2} \sim 1+\frac{1}{2} x^2$
这样分子已经变为严格等于0，无法进行下一步计算，说明阶数不够。因此考虑更高阶的泰勒展开。

当 $x \rightarrow 0$ 时，
$$
\begin{aligned}
& \left(1+x^2\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2} x^2+\frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right) x^4}{2 !}+o\left(x^4\right) \\
& \cos x=1-\frac{1}{2 !} x^2+\frac{1}{4 !} x^4+o\left(x^5\right) \\
& e^{-\frac{x^2}{2}}=1+\left(-\frac{x^2}{2}\right)+\frac{1}{2 !}\left(-\frac{x^2}{2}\right)^2+o\left(x^4\right) \\
& \text { 因此 } \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{8} x^4}{1-\frac{1}{2} x^2+\frac{1}{24} x^4-1+\frac{1}{2} x^2-\frac{1}{8} x^4} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{8} x^4}{\frac{1}{24} x^4-\frac{1}{8} x^4} \\
& =-\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

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