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期中考前自测

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 7 题），每题只有一个选项正确

1. 若

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

, 则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}}

为

A.

B.

C.

D.

\infty

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2. 当

x \to 1

时, 函数

\frac{x^{2} - 1}{x - 1} e^{\frac{1}{x - 1}}

的极限

A.

等于 2 .

B.

等于 0 。

C.

为

\infty

。

D.

不存在但不为

\infty

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3. 已知极限

lim_{x \to 0} \frac{x - \arctan x}{x^{k}} = c

, 其中

k, c

为常数, 且

c \neq 0

, 则

A.

k = 2, c = - \frac{1}{2}

B.

k = 2, c = \frac{1}{2}

C.

k = 3, c = - \frac{1}{3}

D.

k = 3, c = \frac{1}{3}

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4. 设

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - (a x + b x^{2})}{x^{2}} = 2

, 则

A.

a = 1, b = - \frac{5}{2}

B.

a = 0, b = - 2

C.

a = 0, b = - \frac{5}{2}

D.

a = 1, b = - 2

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5. . 当

x \to 0

时, 若

x - \tan x

与

x^{k}

是同阶无穷小, 则

k =

A.

1 .

B.

2 .

C.

3 .

D.

4 .

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6. 当

x \to 0^{+}

时, 与

\sqrt{x}

等价的无穷小量是

A.

1 - e^{\sqrt{x}}

B.

\ln \frac{1 + x}{1 - \sqrt{x}}

C.

\sqrt{1 + \sqrt{x}} - 1

D.

1 - \cos \sqrt{x}

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7. 设

x \to 0

时,

e^{\tan x} - e^{x}

与

x^{n}

是同阶无穷小, 则

n

为

A.

1 .

B.

2 .

C.

3 .

D.

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 若方程组

{\begin{cases} x = t e^{- t} \\ \int_{1}^{y - x} \sin^{2} (\frac{π}{4} u) d u = t \end{cases}

可确定

y

是

x

的函数

y = y (x)

, 则

{\frac{d y}{d x} |}_{t = 0} =

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lim_{x \to 0} \frac{\tan (\arcsin x) - x}{x^{3}} =

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10. 已知

x = 0

是

f (x) = \frac{x + b \ln (1 + x)}{a x - \sin x}

的可去间断点，求

a, b

的取值范围

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11.

f (x) = e^{x^{2022}} \sin x

, 求

f^{(2022)} (0)

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三、解答题（共 17 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

12. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \frac{1}{2} x^{2} - \sqrt{1 + x^{2}}) \cos x^{2}}{\cos x - e^{- \frac{x^{2}}{2}}}

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13. 求极限

lim_{x \to 0^{+}} x^{a} \ln^{b} x

, 其中

a > 0, b > 0

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14. 求极限:

lim_{n \to \infty} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2^{2}} \dots \cos \frac{x}{2^{n}}

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15. 计算极限:

lim_{n \to \infty} (\sin \frac{1}{n^{2}} + \sin \frac{3}{n^{2}} + \dots + \sin \frac{2 n - 1}{n^{2}})

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16. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\sin \frac{1}{x} + \cos \frac{1}{x})}^{x}

解

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17. 求极限

lim_{x \to + \infty} [\sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x}) - 2 x \ln 2]

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18. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{(1 + x)^{\frac{1}{x}} - (1 + 2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{x}

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19. 计算

lim_{x \to 0} \frac{\ln \sin 3 x}{\ln \sin 2 x}

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20. 求极限:

lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2} \sin \frac{1}{x})}{x}

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21. 求

y = x^{2} \sin 2 x

, 求

y^{(50)}

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22. 求隐函数导数

x y = e^{x + y}

;

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23. 已知

{\begin{cases} x = e^{t} \sin t, \\ y = e^{t} \cos t, \end{cases}

求当

t = \frac{π}{3}

时

\frac{d y}{d x}

的值.

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24. 写出

y = x \sin 2 x

微分

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25. 求曲线

{\begin{cases} x = 2 e^{t} \\ y = e^{- t} \end{cases}

在

t = 0

相应的点处的切线方程及法线方程.

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26. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin \sin \cos x - \sin \sin 1}{\cos \cos \cos x - \cos \cos 1}

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27.

p^{2} > 4 q, q \neq 0, y = \frac{1}{x^{2} + p x + q}

，求

y^{(n)}

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28. 设

f (x) = {(x^{2} - 3 x + 2)}^{n} \cos \frac{π x^{2}}{16}

, 求

f^{(n)} (2)

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