2023 届南昌市高三摸底测试卷文科数学

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2023 届南昌市高三摸底测试卷文科数学

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 已知集合

A = {- 2, - 1, 0, 1, 2}, B = {x ∣ x^{2} + x - 2 < 0}

, 则

A \cap B =

A.

{- 1, 0, 1}

B.

{- 1, 0}

C.

{- 2, - 1, 1, 2}

D.

{0, 1, 2}

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2. 复数

\frac{1}{1 + 2 i}

的虚部是

A.

- \frac{2}{5}

B.

- \frac{1}{5}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{2}{5}

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3. 抛物线

y^{2} = 2 x

的焦点到准线的距离为

A.

B.

C.

D.

\frac{1}{2}

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4. 若变量

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} x + y \leq 2 \\ y - x \leq 0, \\ y \geq 0 \end{cases}

, 则

z = x + 2 y

的最大值为

A.

B.

C.

D.

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5. “

a b > 0

” 是 “

\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2

” 的

A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.

充要条件

D.

既不充分也不必要条件

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6. 已知点

A, B, C

是球

O

的小圆

O^{'}

上的三点, 若

A B = B C = C A = 3 \sqrt{3}, O O^{'} = 4

, 则球

O

的表面积为

A.

64 π

B.

100 π

C.

144 π

D.

200 π

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7. 若直线

x = 2 \sqrt{2} y - 3 \sqrt{2}

与圆

x^{2} + y^{2} = 4

相交于

A, B

两点,

O

为坐标原点, 则

\vec{O A} \cdot \vec{A B} =

A.

2 \sqrt{2}

B.

4

C.

- 2 \sqrt{2}

D.

- 4

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8. 如图, 正四棱台

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中, 点

E, F, G

分别是棱

C_{1} D_{1}, D_{1} A_{1}, A_{1} B_{1}

的中点, 则下列判断中, 不正确的是

A.

B, B_{1}, D_{1}, D

共面

B.

F \in

平面

A C E

C.

F G ⊥

平面

A C E

D.

A_{1} C_{1} / /

平面

A C E

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9. 9. 冬残奥会闭幕式上, 中国式浪漫再现, 天干地支时辰钟表盘再现, 由定音鼓构成的“表盘” 形象上, 60 名残健共融表演者用行为模拟“指针”每圈 60 个时间刻度的行进轨迹.若以图中 12 点与圆心连线为始边, 某时刻指向第

1, 21, 41

名残健共融表演者的“指针”为终边的角分别记为

α, β, γ

, 则

\cos α + \cos β + \cos γ

的值为

A.

- 1

B.

0

C.

1

D.

\cos α

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10. 设函数

f (x)

的定义域为

R

, 且

f (x + 2)

是奇函数,

f (x + 1)

是偶函数, 则一定有

A.

f (4) = 0

B.

f (- 1) = 0

C.

f (3) = 0

D.

f (5) = 0

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11. 若

2 x - 1 = \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}

, 则

\sqrt{(x + 2)^{2} + y^{2}} + \sqrt{(x - 2)^{2} + y^{2}}

的最小值是

A.

B.

C.

D.

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12. 已知函数

f (x) = 2 \sin (ω x + φ)

的部分图象如图, 则下列判断正确的是

A.

函数

f (x)

的周期为

4 π

B.

对任意的

x \in R

, 都有

f (x) \leq f (\frac{2 π}{3})

C.

函数

f (x)

在区间

[0, 5 π]

上恰好有三个零点

D.

函数

f (x - \frac{π}{4})

是偶函数

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 若函数

f (x) = (x + a) \sin x

在

x = π

时取得极值, 则

a =

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14. 执行如下程序框图, 输出

i

的值为

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15. 某工厂 10 名工人某天生产同一类型零件, 生产的件数分别是

7, 8, 9, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14

, 则这组数据的方差为 (参考数据: 这组数据的平方和为 1212 )

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16. 已知

\vec{O A}, \vec{O C}

为正交基底, 且

\vec{O B} = λ \vec{O A}, \vec{O D} = μ \vec{O C}, λ > μ > 1

P, Q

分别为

A C, B D

的中点, 若

| \vec{A B} ∥ \vec{C D} | = 1

, 则

| \vec{P Q} |

的最小值为

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知公差大于 0 的等差数列

{a_{n}}

满足

a_{1} = 1

, 且

a_{1}, a_{2}, a_{4}

成等比数列.
(1) 求数列

{a_{n}}

的通项公式:
(2) 令

b_{n} = 2^{a_{2 n}}

, 求数列

{b_{n}}

的前

n

项和.

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18. 如图是飞行棋部分棋盘图示, 飞机的初始位置为 0 号格, 抛郑一个质地均匀的骰子，若抛出的点数为 1,2 , 飞机在原地不动：若拋出的点数为 3,4 , 飞机向前移一格; 若抛出的点数为 5,6 ,飞机向前移两格. 记扡掷一次骰子后，飞机到达 1 号格为事件

A

, 记抛两次骰子后, 飞机到达 2 号格为事件

B

.
(1) 求

P (A)

;
(2) 求

P (B)

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19. 如图, 桌面上拱放了两个相同的正四面体

P A B D

和

Q A B C

(1) 求证:

P Q ⊥ A B

;
(2) 若

A B = 2

, 求四面体

A P Q B

的体积.

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20. 已知函数

f (x) = e^{x} + (1 - a) x - \ln a \cdot \ln x (a > 0)

.
（1）若

a = e

, 求函数

f (x)

的极值;
(2) 讨论函数

f (x)

的单调性.

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21. 已知

A (2, 0), B (0, 1)

是椭圆

E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的两个顶点.
(1) 求椭圆

E

的标准方程;
(2) 过点

P (2, 1)

的直线

l

与椭圆

E

交于

C, D

, 与直线

A B

交于点

M

, 求

\frac{| P M |}{| P C |} + \frac{| P M |}{| P D |}

的值.

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22. 已知曲线

C_{1}

的参数方程为

{\begin{cases} x = t \\ y = \sqrt{3} t \end{cases}

(

t

为参数), 以

O

为极点,

x

轴的非负半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线

C_{2}

的极坐标方程为

ρ = \frac{2}{1 - \sin θ}

.
(1) 求曲线

C_{1}

的普通方程, 曲线

C_{2}

的直角坐标方程;
(2) 设曲线

C_{1}, C_{2}

的交点为

A, B

, 求

| A B |

的值.

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23. 已知函数

f (x) = | 2 x - 6 | - | 3 x - 6 |

.
（1）求不等式

f (x) > 1

的解集;
(2) 若不等式

f (x) \leq k | x |

恒成立, 求实数

k

的取值范围.

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