题号:2235    题型:解答题    来源:2023 届 南昌市高三摸底测试卷 文科数学
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+(1-a) x-\ln a \cdot \ln x(a > 0)$.
(1)若 $a=\mathrm{e}$, 求函数 $f(x)$ 的极值;
(2) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 1 次查看 我来讲解
答案:
(1) $a=e$ 时, $f(x)=e^x+(1-e) x-\ln x$, $f^{\prime}(x)=e^x+(1-e)-\frac{1}{x}=\left(e^x-e\right)+\left(1-\frac{1}{x}\right)$,
当 $x > 1$ 时, $e^x-e > 0,1-\frac{1}{x} > 0$, 所以 $f^{\prime}(x) > 0$, 即 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增, 当 $0 < x < 1$ 时, $e^x-e < 0,1-\frac{1}{x} < 0$, 所以 $f^{\prime}(x) < 0$, 即 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减, 则 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(1,+\infty)$, 单调递减区间为 $(0,1)$; 所以函数 $f(x)$ 的极小值为 $f(1)=1$, 无极大值.


(2) $f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^x+(1-a)-\frac{\ln a}{x}=\frac{x e^x+(1-a) x-\ln a}{x}(x > 0)$, 令 $g(x)=x e^x+(1-a) x-\ln a$,
(i) 当 $0 < a \leq 1$ 时, $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 则 $g(x) > g(0)=-\ln a > 0$, 所以 $f^{\prime}(x) > 0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立, 所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增;


(ii) 当 $a > 1$ 时, $f^{\prime}(\ln a)=\left(\mathrm{e}^{\ln a}-a\right)+\frac{\ln a-\ln a}{\ln a}=0$,
当 $x > \ln a$ 时, $e^x-a > 0, \frac{x-\ln a}{x} > 0, f^{\prime}(x) > 0$, 即 $f(x)$ 在 $(\ln a,+\infty)$ 上递增, 当 $0 < x < \ln a$ 时, $e^x-a < 0, \frac{x-\ln a}{x} < 0, f^{\prime}(x) < 0$, 即 $f(x)$ 在 $(0, \ln a)$ 上递减
综上, 当 $0 < a \leq 1$ 时, $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增;
当 $a > 1$ 时, $f(x)$ 的单调递减区间为 $(0, \ln a)$, 单调递增区间为 $(\ln a,+\infty)$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭