题号:2234    题型:解答题    来源:2023 届 南昌市高三摸底测试卷 文科数学
如图, 桌面上拱放了两个相同的正四面体 $P A B D$ 和 $Q A B C$
(1) 求证: $P Q \perp A B$;
(2) 若 $A B=2$, 求四面体 $A P Q B$ 的体积.
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答案:
(1)
因为 $\triangle A B D$ 与 $\triangle A B C$ 共面,
所以连接 $C D$ 与 $A B$ 相交于点 $O$,
因为 $P A B D$ 和 $Q A B C$ 是相同的正四面体,
所以四边形 $A C B D$ 为菱形, 则 $O$ 为 $A B$ 的中点,
连接 $P O, Q O$, 因为 $P A=P B, Q A=Q B$,
所以 $P O \perp A B, Q O \perp A B$,
又因为 $P O \cap Q O=O$, 所以 $A B$
所以 $P Q \perp A B$;



(2) 如图, 在四边形 $D P Q C$ 中, 因为 $A B=2$,
由 (1) 知, $O D=\sqrt{3}, D P_1=\frac{2 \sqrt{3}}{3}, O P_1=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 所以 $P P_1=\frac{2 \sqrt{6}}{3}, P Q=P_1 Q_1=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 所以 $V_{A-P Q B}=2 V_{A-P O Q}=2 \times \frac{1}{3} \times S_{\triangle P O Q} \times O A=\frac{4 \sqrt{2}}{9}$.

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