题号:2236    题型:解答题    来源:2023 届 南昌市高三摸底测试卷 文科数学
类型:模拟考试
已知 $A(2,0), B(0,1)$ 是椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的两个顶点.
(1) 求椭圆 $E$ 的标准方程;
(2) 过点 $P(2,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于 $C, D$, 与直线 $A B$ 交于点 $M$, 求 $\frac{|P M|}{|P C|}+\frac{|P M|}{|P D|}$ 的 值.
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答案:
(1) $a=2, b=1$
故椭圆 $E$ 的标准方程为: $\frac{x^2}{4}+y^2=1$.

(2) 设 $C\left(x_1, y_1\right), D\left(x_2, y_2\right), M\left(x_3, y_3\right)$, 直线 $l$ 的斜率为 $k$,
则 $|P C|=\left|x_P-x_1\right| \sqrt{1+k^2}=\left(2-x_1\right) \sqrt{1+k^2}$,
同理 $|P D|=\left(2-x_2\right) \sqrt{1+k^2},|P M|=\left(2-x_3\right) \sqrt{1+k^2}$,
则 $\frac{|P M|}{|P C|}+\frac{|P M|}{|P D|}=\frac{2-x_3}{2-x_1}+\frac{2-x_3}{2-x_2}$.
设 $l: y-1=k(x-2)$, 而 $A B: \frac{x}{2}+y=1$, 联立解得 $x_3=\frac{4 k}{2 k+1}$,

所以 $2-x_3=2-\frac{4 k}{2 k+1}=\frac{2}{2 k+1}$;
联立直线 $l$ 与椭圆 $E$ 方程, 消去 $y$ 得: $\left(4 k^2+1\right) x^2-8 k(2 k-1) x+16 k^2-16 k=0$,
所以 $x_1+x_2=\frac{8 k(2 k-1)}{4 k^2+1}, x_1 x_2=\frac{16 k^2-16 k}{4 k^2+1}$,

所以 $\frac{1}{2-x_1}+\frac{1}{2-x_2}=-\frac{x_1+x_2-4}{\left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)}=-\frac{x_1+x_2-4}{x_1 x_2-2\left(x_1+x_2\right)+4}$
$$
=-\frac{\frac{8 k(2 k-1)}{4 k^2+1}-4}{\frac{16 k^2-16 k}{4 k^2+1}-2 \times \frac{8 k(2 k-1)}{4 k^2+1}+4}=2 k+1
$$
所以 $\frac{2-x_3}{2-x_1}+\frac{2-x_3}{2-x_2}=\frac{2}{2 k+1} \times(2 k+1)=2$, 即 $\frac{|P M|}{|P C|}+\frac{|P M|}{|P D|}=2$

解析:

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