单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $a_1=x(\cos \sqrt{x}-1), a_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x})$, $a_3=\sqrt[3]{x+1}-1$. 当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, a_3$
$\text{B.}$ $a_2, a_3, a_1$
$\text{C.}$ $a_2, a_1, a_3$
$\text{D.}$ $a_3, a_2, a_1$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geq 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1 \\ x(\ln x-1), x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}(x-1)^2, x < 1, \\ x(\ln x-1)+1, x \geq 1\end{array}\right.$
反常积分(1) $\int_{-\infty}^0 \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$, (2) $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2} e^{\frac{1}{x}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性为
$\text{A.}$ (1)收敛(2)收敛
$\text{B.}$ (1)收敛(2)发散
$\text{C.}$ (1)收敛(2)收敛
$\text{D.}$ (1)发散(2)发散
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，其导函数的图形如图所示, 则
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 3 个拐点
$\text{C.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 1 个拐点
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y=f(x)$ 有 2 个拐点
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数，且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$ ，若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$ ，且在该点处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲率 $y=f_2(x)$ 的曲率，则在 $x_0$ 的某个邻域内，有
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$
已知函数 $f(x, y)=\frac{e^x}{x-y}$ ，则
$\text{A.}$ $f_x{ }^{\prime}-f_y^{\prime}=0$
$\text{B.}$ $f_x{ }^{\prime}+f_y^{\prime}=0$
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}-f_y^{\prime}=f$
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}+f_y^{\prime}=f$
设$A,B$是可逆矩阵，且$A,B$相似，则下列错误的是
$\text{A.}$ $A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^T$ 与 $B+B^T$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+$ $2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$
$\text{B.}$ $a < -2$
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $y=\frac{x^3}{1+x^2}+\arctan \left(1+x^2\right)$ 的斜渐近线方程为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$
以 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且
$$
f(x)=(x+1)^2+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t
$$
则当 $n \geq 2$ 时， $f^{(n)}(0)=$
已知动点 $P$ 在曲线 $y=x^3$ 上运动，记坐标原点与点 $P$ 间的距离为 $l$ 。若点 $P$ 的横坐标时间的变化率为常数 $v_0$ ，则当点 $P$ 运动到点 $(1,1)$ 时， $l$ 对时间的变化率是
设函数 $f(x)=\int_0^1\left|t^2-x^2\right| \mathrm{d} t(x>0)$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的最小值
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & -1 \\ -1 & a & -1 \\ -1 & -1 & a\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 等价，则 $a=$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos 2 x+2 x \sin x)^{1/{x^4}}$.
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程
$$
\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0
$$
确定，求 $z=z(x, y)$ 的极值.
设 $D$ 是由直线 $y=1, y=x, y=-x$ 围成的有界区域，计算二重积分 $\iint_D \frac{x^2-x y-y^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知 $y_1(x)=e^x, y_2(x)=u(x) e^x$ 是二阶微分方程
$$
(2 x-1) y^{\prime \prime}-(2 x+1) y^{\prime}+2 y=0
$$
的解，若 $u(-1)=e, u(0)=-1$ ，求 $u(x)$ ，并写出该微分方程的通解.
设 $D$ 是由曲线 $y=\sqrt{1-x^2}(0 \leq x \leq 1)$ 与曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos ^3 t \\ y=\sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$ 围成的平面区域，求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积.
已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$.
(1) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值
(2) 证明 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内存在唯一零点
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1-a \\ 1 & 0 & a \\ a+1 & 1 & a+1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 2 a-2\end{array}\right)$ ，且方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 无解.
(1) 求 $a$ 的值;
(2) 求方程组 $A^T A x=A^T \beta$ 的通解
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$
(1) 求 $A^{99}$ ；
(2) 设 3 阶矩阵 $B=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$ 满足 $B^2=B A$. 记 $B^{100}=\left(\beta_1, \beta_2, \beta_3\right)$ ， 将 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 分别表示成 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的线性组合.