已知函数 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上连续，在 $\left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2 x-3 \pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$.
(1) 求 $f(x)$ 在区间 $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上的平均值
(2) 证明 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 内存在唯一零点