1993年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

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1993年普通高等学校招生全国统一考试全国卷高考理科（含文科）数学真题及答案

一、单选题（共 16 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

f (x) = \sin x + \cos x

的最小正周期是

A.

2 π

B.

2 \sqrt{2} π

C.

π

D.

\frac{π}{4}

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2. 如果双曲线的焦距为 6 , 两条准线间的距离为 4 , 那么该双曲线的离心率为

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{\sqrt{6}}{2}

D.

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3. 和直线

3 x - 4 y + 5 = 0

关于

x

轴对称的直线的方程为

A.

3 x + 4 y - 5 = 0

B.

3 x + 4 y + 5 = 0

C.

- 3 x + 4 y - 5 = 0

D.

- 3 x + 4 y + 5 = 0

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y = x^{\frac{3}{5}}

在

[- 1, 1]

上是

A.

增函数且是奇函数

B.

增函数且是偶函数

C.

减函数且是奇函数

D.

减函数且是偶函数

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lim_{n \to \infty} \frac{5 n^{2} - 1}{2 n^{2} - n + 5}

的值为

A.

- \frac{1}{5}

B.

- \frac{5}{2}

C.

\frac{1}{5}

D.

\frac{5}{2}

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6. 设集合

M = {x | x = \frac{k}{2} + \frac{1}{4}, k \in Z}, N = {x | x = \frac{k}{4} + \frac{1}{2}, k \in Z}

, 则

A.

M = N

B.

M \subset N

C.

M \supset N

D.

M \cap N = Φ

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\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} + \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ}

的值是

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{4}

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8. 参数方程

{\begin{cases} x = | \cos \frac{θ}{2} + \sin \frac{θ}{2} | \\ y = \frac{1}{2} (1 + \sin θ) \end{cases} (0 < θ < 2 π)

表示

A.

双曲线的一支, 这支过点

(1, \frac{1}{2})

B.

抛物线的一部分, 这部分过点

(1, \frac{1}{2})

C.

双曲线的一支, 这支过点

(- 1, \frac{1}{2})

D.

抛物线的一部分, 这部分过点

(- 1, \frac{1}{2})

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9. 若

a 、 b

是任意实数, 且

a > b

, 则

A.

a^{2} > b^{2}

B.

\frac{b}{a} < 1

C.

\lg (a - b) > 0

D.

{(\frac{1}{2})}^{a} < {(\frac{1}{2})}^{b}

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10. 一动圆与两圆

x^{2} + y^{2} = 1

和

x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0

都外切, 则动圆圆心轨迹为

A.

圆

B.

椭圆

C.

双曲线的一支

D.

拋物线

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11. 圆柱轴截面的周长 1 为定值, 那么圆柱体积的最大值是

A.

{(\frac{1}{6})}^{3} π

B.

\frac{1}{9} {(\frac{1}{2})}^{3} π

C.

{(\frac{1}{4})}^{3} π

D.

2 {(\frac{1}{4})}^{3} π

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12.

(\sqrt{x} + 1)^{4} (x - 1)^{5}

展开式中

x^{4}

的系数为

A.

-40

B.

C.

D.

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13. 直角梯形的一个内角为

45^{\circ}

, 下底长为上底长的

\frac{3}{2}

, 这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为

(5 + \sqrt{2}) π

, 则旋转体的体积为

A.

2 π

B.

\frac{4 + \sqrt{2}}{3} π

C.

\frac{5 + \sqrt{2}}{3} π

D.

\frac{7}{3} π

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14. 已知

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}

为各项都大于零的等比数列, 公式

q \neq 1

, 则

A.

a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}

B.

a_{1} + a_{8} < a_{4} + a_{5}

C.

a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}

D.

a_{1} + a_{8}

和

a_{4} + a_{5}

的大小关系不能由已知条件确定

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15. 设有如下三个命题:
甲: 相交直线

1 、 m

都在平面

a

内, 并且都不在平面

β

内;
乙: 直线

1 、 m

中至少有一条与平面

β

相交;
丙: 平面

a

与平面

β

相交.
当甲成立时

A.

乙是丙的充分而不必要条件

B.

乙是丙的必要而不充分条件

C.

乙是丙的充分且必要条件

D.

乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

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16. 将数字

1, 2, 3, 4

填入标号为

1, 2, 3, 4

的四个方格里, 每格填一个数字, 则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有

A.

6 种

B.

9 种

C.

11 种

D.

23 种

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

17.

\sin (\arccos \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{3}) =

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18. 若双曲线

\frac{x^{2}}{9 k^{2}} - \frac{y^{2}}{4 k^{2}} = 1

与圆

x^{2} + y^{2} = 1

没有公共点, 则实数

k

的取值范围为

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19. 从

1, 2, \dots, 10

这十个数中取出四个数, 使它们的和为奇数, 共有种取法（用数字作答）

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20. 建造一个容积为

8 m^{3}

, 深为 2 m 的长方体无盖水池, 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元和 80 元,则水池的最低造价为

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21. 如图,

A B C D

是正方形,

E

是

A B

的中点, 如将

△ D A E

和

△ C B E

分别沿虚线

D E

和

C E

折起, 使

A E

与

B E

重合, 记

A

与

B

重合后的点为

P

, 则面

P C D

与面

E C D

所成的二面角为 ________ 度.

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

22. 已知

f (x) = \log_{a} \frac{1 + x}{1 - x} (a > 0, a \neq 1)

.
(1) 求

f (x)

的定义域;
(2) 判断 f （x）的奇偶性并予以证明;
(3) 求使

f (x) > 0

的

x

取值范围.

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23. 已知数列

\frac{8 \cdot 1}{1^{2} \cdot 3^{2}}, \frac{8 \cdot 2}{3^{2} \cdot 5^{2}}, \dots, \frac{8 n}{(2 n - 1)^{2} (2 n + 1)^{2}}, \dots . S_{n}

为其前 n 项和. 计算得

S_{1} = \frac{8}{9}, S_{2} = \frac{24}{25}, S_{3} = \frac{48}{49}, S_{4} = \frac{80}{81}

. 观察上述结果, 推测出计算

S_{n}

的公式, 并用数学归纳法加以证明.

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24. 已知: 平面

a \cap

平面

β

=直线

a . a, β

同垂直于平面

γ

, 又同平行于直线

b

.

求证:
(1)

a ⊥ γ

;
(2)

b ⊥ γ

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25. 在面积为 1 的

△ PMN

中,

\tan ∠ PMN = \frac{1}{2}, \tan ∠ MNP = - 2

. 建立适当的坐标系, 求以

M, N

为焦点且过点 P 的椭圆方程.

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26. 设复数

z = \cos θ + i \sin θ (0 < θ < π), ω = \frac{1 - (\bar{z})^{4}}{1 + z^{4}}

, 并且

| ω | = \frac{\sqrt{3}}{3}, \arg ω < \frac{π}{2}

, 求

θ

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27. 解方程

\lg (x^{2} + 4 x - 26) - \lg (x - 3) = 1

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