单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
1、若 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{x}-\left(\frac{1}{x}-a\right) e^x\right]=1$ ，则 $a$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
设函数 $f(x), g(x)$ 具有二阶导数，且 $g^{\prime \prime}(x) < 0$ ，若 $g\left(x_0\right)=a$ 是 $g(x)$ 的极值，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 取极大值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(a) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(a)>0$
$\text{C.}$ f $^{\prime \prime}(a) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(a)>0$
设 $f(x)=\ln ^{10} x, g(x)=x, h(x)=e^{\frac{x}{10}}$ ，则当 $x$ 充分大时有
$\text{A.}$ $g(x) < h(x) < f(x)$
$\text{B.}$ $h(x) < g(x) < f(x)$
$\text{C.}$ $f(x) < g(x) < h(x)$
$\text{D.}$ $g(x) < f(x) < h(x)$
设向量组 I : $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 可由向量组 II : $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$线性表示，下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 I 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{B.}$ 若向量组 I 线性相关，则 $r>s$
$\text{C.}$ 若向量组 II 线性无关，则 $r \leq s$
$\text{D.}$ 若向量组 II 线性相关，则 $r>s$
设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，且 $A^2+A=O$ ，若 $A$ 的秩为 3，则 $\boldsymbol{A}$ 相似于
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{llll}1 & & & \\ & 1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cccc}1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cccc}-1 & & & \\ & -1 & & \\ & & -1 & \\ & & & 0\end{array}\right)$
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数
$$
F(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < 0 \\
\frac{1}{2} & 0 \leq x < 1 \\
1-e^{-x} & x \geq 1
\end{array},\right.
$$
则 $P\{X=1\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}-e^{-1}$
$\text{D.}$ $1-e^{-1}$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度， $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布的概率密度，若
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
a f_1(x), x \leq 0 \\
b f_2(x), x>0
\end{array}(a>0, b>0)\right.
$$
为概率密度，则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设可导函数 $y=y(x)$ 由方程
$$
\int_0^{x+y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t=\int_0^x x \sin ^2 t \mathrm{~d} t
$$
确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\qquad$ .
设位于曲线 $y=\frac{1}{\sqrt{x\left(1+\ln ^2 x\right)}}(e \leq x < +\infty)$ 下
方， $x$ 轴上方的无界区域为 $G$ ，则 $G$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得空间区域的体积是
设某商品的收益函数为 $R(p)$ ，收益弹性为 $1+p^3$ ，其中 $p$ 为价格，且 $R(1)=1$ ，则 $R(p)=$
若曲线 $y=x^3+a x^2+b x+1$ 有拐点 $(-1,0)$ ，则 $b=$
设 $A, B$ 为三阶矩阵,且 $|A|=3,|B|=2,\left|A^{-1}+B\right|=2$,则 $\left|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}^{-1}\right|=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ 的简单随机样本，统计量 $T=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ ，则 $E T=$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{1 / x}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$.
计算二重积分 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2} y=0$ 及 $x-\sqrt{2} y=0$ 围成.
求函数 $u=x y+2 y z$ 在约束条件 $x^2+y^2+z^2=10$下的最大值和最小值.
(1) 比较 $\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t$ 与 $\int_0^1 t^n|\ln t| \mathrm{d} t$ $(n=1,2, \cdots)$ 的大小，说明理由.
（2）记 $u_n=\int_0^1|\ln t|[\ln (1+t)]^n \mathrm{~d} t(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} u_n$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续，在 $(0,3)$ 内存在二阶导数，且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=f(2)+f(3)$.
(1)证明：存在 $\eta \in(0,2)$ ，使得 $f(\eta)=f(0)$.
(2)证明: 存在 $\xi \in(0,3)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$.
设 $\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ 1 & 1 & \lambda\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$. 已知线性方程组 $A x=b$ 存在两个不同的解.
（1）求 $\lambda, a$.
（2）求方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 的通解.
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & a \\ 4 & a & 0\end{array}\right)$, 正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 为对角矩阵，若 $Q$ 的第 1 列为 $\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,1)^T$ ，求 $a, Q$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
\begin{gathered}
f(x, y)=A \mathrm{e}^{-2 x^2+2 x y-y^2}, \\
-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty
\end{gathered}
$$
求常数及 $A$ 及条件概率密度 $f_{Y \mid X}(y \mid x)$.
箱内有 6 个球，其中红，白，黑球的个数分别为 $1 ， 2$ ， 3 个，现从箱中随机的取出 2 个球，记 $X$ 为取出的红球个数， $Y$ 为取出的白球个数.
(1) 求随机变量 $(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$ 的概率分布;
(2) 求 $\operatorname{cov}(X, Y)$.