2006年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2006年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设

y = f (x)

具有二阶导数，且

f^{'} (x) > 0, f^{''} (x) > 0, Δ x

为自变量

x

在

x_{0}

处的增量,

Δ y

与

d y

分别为

f (x)

在点

x_{0}

处对应的增量与微分，若

Δ x > 0

，则

A.

0 < d y < Δ y

B.

0 < Δ y < d y

C.

Δ y < d y < 0

D.

d y < Δ y < 0

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2. 设

f (x)

是奇函数，除

x = 0

外处处连续，

x = 0

是其第一类间断点，则

\int_{0}^{x} f (t) d t

是

A.

连续的奇函数

B.

连续的偶函数

C.

在

x = 0

间断的奇函数

D.

在

x = 0

间断的偶函数

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3. 设函数

g (x)

可微，

h (x) = e^{1 + g (x)}, h^{'} (1) = 1, g^{'} (1) = 2

，则

g (1)

等于

A.

\ln 3 - 1

B.

- \ln 3 - 1

C.

- \ln 2 - 1

D.

\ln 2 - 1

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4. 函数

y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- 2 x} + x e^{x}

满足一个微分方程是

A.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

B.

y^{''} - y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

C.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 x e^{x}

D.

y^{''} + y^{'} - 2 y = 3 e^{x}

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5. 设

f (x, y)

为连续函数，则

\int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{1} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

等于

A.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{x}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

B.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d x \int_{0}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x, y) d y

C.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{y}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

D.

\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} d y \int_{0}^{\sqrt{1 - y^{2}}} f (x, y) d x

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6. 设

f (x, y)

与

φ (x, y)

均为可微函数，且

φ_{y}^{'} (x, y) \neq 0

，已知

(x_{0}, y_{0})

是

f (x, y)

在约束条件

φ (x, y) = 0

下的一个极值点，下列选项正确的是

A.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

B.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

C.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) = 0

D.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

，则

f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \neq 0

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7. 设

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

均为

n

维列向量，

A

是

m > n

矩阵，下列选项正确的是

A.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关.

B.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性相关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关.

C.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性相关.

D.

若

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}

线性无关，则

A a_{1}, A a_{2}, \dots, A a_{s}

线性无关.

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8. 设

A

为三阶矩阵，将

A

的第 2 行加到第 1 行得

B

，再将

B

的第 1 列的 -1 倍加到第 2 列得

C

，记

P = (\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

，则

A.

C = P^{- 1} A P

B.

C = P A P^{- 1}

C.

C = P^{T} A P

D.

C = P A P^{T}

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二、解答题（共 15 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 曲线

y = \frac{x + 4 \sin x}{5 x - 2 \cos x}

的水平渐近线方程为

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10. 设函数

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x^{3}} \int_{0}^{x} \sin t^{2} d t, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases}

在

x = 0

处连续，则

a =

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11. 广义积分

\int_{0}^{+ \infty} \frac{x d x}{{(1 + x^{2})}^{2}} =

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12. 微分方程

y^{'} = \frac{y (1 - x)}{x}

的通解是

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13. 设函数

y = y (x)

由方程

y = 1 - x e^{y}

确定，则

{\frac{d y}{d x} |}_{x = 0} =

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14. 设矩阵

A = (\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ - 1 & 2 \end{array}) ， E

为二阶单位矩阵，矩阵

B

满足

B A = B + 2 E

，则

| B | =

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15. 试确定

A, B, C

的常数值，使得

e^{x} (1 + B x + C x^{2}) = 1 + A x + o (x^{3})

其中

o (x^{3})

是当

x \to 0

时比

x^{3}

的高阶无穷小量.

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16. 求

\int \frac{\arcsin e^{x}}{e^{x}} d x

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17. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

，计算二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 + x y}{1 + x^{2} + y^{2}} d x d y

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18. 设数列

{x_{n}}

满足

0 < x_{1} < π, x_{x + 1} = \sin x_{n} (n = 1, 2, \dots) .

(1) 证明

lim_{n \to \infty} x_{n}

存在，并求极限.
(2) 计算

lim_{n \to \infty} {(\frac{x_{n + 1}}{x_{n}})}^{\frac{1}{x_{n}^{2}}}

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19. 证明: 当

0 < a < b < π

时

b \sin b + 2 \cos b + π b > a \sin a + 2 \cos a + π a

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20. 设函数

f (u)

在

(0, + \infty)

内具有二阶导数，

z = f (\sqrt{x^{2} + y^{2}})

满足等式

\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0

.
（1）验证

f^{''} (u) + \frac{f^{'} (u)}{u} = 0

（2）若

f (1) = 0, f^{'} (1) = 1

，求函数

f (u)

的表达式.

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21. 已知曲线

L

的方程为

{\begin{cases} x = t^{2} + 1 \\ y = 4 t - t^{2} \end{cases} (t \geq 0)

.
(1) 讨论

L

的凹凸性;
(2) 过点

(- 1, 0)

引

L

的切线，求切点

(x_{0}, y_{0})

，并写出切线的方程；
(3) 求此切线与

L

(对应于

x \leq x_{0}

的部分) 及

x

轴所围成的平面图形的面积.

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22. 已知非齐次线性方程组

{\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = - 1 \\ 4 x_{1} + 3 x_{2} + 5 x_{3} - x_{4} = - 1 ， \\ a x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + b x_{4} = 1 \end{cases}

有三个线性无关的解.
(1) 证明方程组系数矩阵

A

的秩

r (A) = 2

；
(2) 求

a, b

的值及方程组的通解.

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23. 设三阶实对称矩阵

A

的各行元素之和均为 3 ，向量

α_{1} = (- 1, 2, - 1)^{T}, α_{2} = (0, - 1, 1)^{T}

是线性方程组

A x = 0

的两个解.
(1) 求

A

的特征值与特征向量
(2) 求正交矩阵

Q

和对角矩阵

Λ

，使得

Q^{T} A Q = Λ

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