2005年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

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2005年全国硕士研究生招生统一考试数学试题及详细参考解答(数二)

一、单选题（共 8 题），每题只有一个选项正确

1. 设函数

f (x) = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1 + | x |^{3 n}}

，则

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内

A.

处处可导

B.

恰有一个不可导点

C.

恰有两个不可导点

D.

至少有三个不可导点

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2. 设

F (x)

是连续函数

f (x)

的一个原函数，"

M \Leftrightarrow N

" 表示

" M

的充分必要条件是

N "

，则必有

A.

F (x)

是偶函数

\Leftrightarrow f (x)

是奇函数

B.

F (x)

是奇函数

\Leftrightarrow f (x)

是偶函数

C.

F (x)

是周期函数

\Leftrightarrow f (x)

是周期函数

D.

F (x)

是单调函数

\Leftrightarrow f (x)

是单调函数

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3. 设函数

y = y (x)

由参数方程

{\begin{matrix} x = t^{2} + 2 t \\ y = \ln (1 + t) \end{matrix}

确定，则曲线

y = y (x)

在

x = 3

处的法线与

x

轴交点的横坐标是

A.

\frac{1}{8} \ln 2 + 3

B.

- \frac{1}{8} \ln 2 + 3

C.

- 8 \ln 2 + 3

D.

8 \ln 2 + 3

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4. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 4, x \geq 0, y \geq 0} ， f (x)

为

D

上的正值连续函数，

a, b

为常数，则

\iint_{D} \frac{a \sqrt{f (x)} + b \sqrt{f (y)}}{\sqrt{f (x)} + \sqrt{f (y)}} d σ =

A.

a b π

B.

\frac{a b}{2} π

C.

(a + b) π

D.

\frac{a + b}{2} π

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5. 设函数

u (x, y) = ϕ (x + y) + ϕ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t ，

其中函数

ϕ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有

A.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = - \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

B.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

C.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}

D.

\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

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6. 设函数

f (x) = \frac{1}{e^{\frac{x}{x - 1}} - 1}

, 则

A.

x = 0, x = 1

都是

f (x)

的第一类间断点.

B.

x = 0, x = 1

都是

f (x)

的第二类间断点.

C.

x = 0

是

f (x)

的第一类间断点，

x = 1

是

f (x)

的第二类间断点

D.

x = 0

是

f (x)

的第二类间断点，

x = 1

是

f (x)

的第一类间断点

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7. 设

λ_{1}, λ_{2}

是矩阵

A

的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

α_{1}, α_{2}

，则

α_{1}, A (α_{1} + α_{2})

线性无关的充分必要条件是

A.

λ_{1} \neq 0

B.

λ_{2} \neq 0

C.

λ_{1} = 0

D.

λ_{2} = 0

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8. 设

A

为

n (n \geq 2)

阶可逆矩阵，交换

A

的第 1 行与第 2 行得矩阵

B ， A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵，则

A.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

B^{*}

B.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

B^{*}

C.

交换

A^{*}

的第 1 列与第 2 列得

- B^{*}

D.

交换

A^{*}

的第 1 行与第 2 行得

- B^{*}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

9. 设

y = (1 + \sin x)^{x}

，则

{d y |}_{x = π} =

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10. 曲线

y = \frac{(1 + x)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}}

的斜渐近线方程为

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11.

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(2 - x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}} =

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12. 方程

x y^{'} + 2 y = x \ln x

满足

y (1) = - \frac{1}{9}

的解为

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13. 当

x \to 0

时，

α (x) = k x^{2}

与

β (x) = \sqrt{1 + x \arcsin x} - \sqrt{\cos x}

是等价无穷小，则

k =

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14. 设

α_{1}, α_{2}, α_{3}

均为三维列向量，记矩阵

A = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

，

B = (α_{1} + α_{2} + α_{3}, α_{1} + 2 α_{2} + 4 α_{3}, α_{1} + 3 α_{2} + 9 α_{3}) ，

如果

| A | = 1

，那么

| B | =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

15. 设函数

f (x)

连续，且

f (0) \neq 0

，求极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x} (x - t) f (t) d t}{x \int_{0}^{x} f (x - t) d t} .

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16. 如图，

C_{1}

和

C_{2}

分别是

y = \frac{1}{2} (1 + e^{x})

和

y = e^{x}

的图象，过点

(0, 1)

的曲线

C_{3}

是一单调增函数的图象. 过

C_{2}

上任一点

M (x, y)

分别作垂直于

x

轴和

y

轴的直线

l_{x}

和

l_{y}

. 记

C_{1}, C_{2}

与

l_{x}

所围图形的面积为

S_{1} (x) ； C_{2}, C_{3}

与

l_{y}

所围图形的面积为

S_{2} (y)

. 如果总有

S_{1} (x) = S_{2} (y)

，求曲线

C_{3}

的方程

x = ϕ (y)

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17. 如下图，曲线

C

的方程为

y = f (x)

，点

(3, 2)

是它的一个拐点，直线

l_{1}

与

l_{2}

分别是曲线 C 在点

(0, 0)

与

(3, 2)

处的切线，其交点为

(2, 4)

. 设函数

f (x)

具有三阶连续导数，计算定积分

\int_{0}^{3} (x^{2} + x) f^{'''} (x) d x

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18. 用变量代换

x = \cos t (0 < t < π)

化简微分方程

(1 - x^{2}) y^{''} - x y^{'} + y = 0 ，

并求其满足

{y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

的特解.

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19. 已知函数

f (x)

在

[0, 1]

上连续，在

(0, 1)

内可导，且

f (0) = 0, f (1) = 1

. 证明:
(1) 存在

ξ \in (0, 1)

, 使得

f (ξ) = 1 - ξ

.
(2) 存在两个不同的点

η, ζ \in (0, 1)

，使得

f^{'} (η) f^{'} (ζ) = 1

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20. 已知函数

z = f (x, y)

的全微分

d z = 2 x d x - 2 y d y

，并且

f (1, 1) = 2

求

f (x, y)

在椭圆域

D = {(x, y) | x^{2} + \frac{y^{2}}{4} \leq 1}

上的最大值和最小值.

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21. 计算二重积分

\iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 1 | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} .

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22. 确定常数

a

, 使向量组

α_{1} = (1, 1, a)^{T}, α_{2} = (1, a, 1)^{T}

α_{3} = (a, 1, 1)^{T}

可由向量组

β_{1} = (1, 1, a)^{T}, β_{2} = (- 2, a, 4)^{T}

β_{3} = (- 2, a, a)^{T}

线性表示，但向量组

β_{1}, β_{2}, β_{3}

不能由向量组

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性表示.

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23. 已知三阶矩阵

A

的第一行是

(a, b, c), a, b, c

不全为零，矩阵

B = [\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & k \end{array}]

(

k

为常数)，且

A B = 0

，求线性方程组

A X = 0

的通解.

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