设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\} ， f(x)$为 $D$ 上的正值连续函数， $a, b$ 为常数，则
$$
\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} \mathrm{d} \sigma=
$$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b}{2} \pi$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$