如图， $C_1$ 和 $C_2$ 分别是 $y=\frac{1}{2}\left(1+e^x\right)$ 和 $y=e^x$ 的图象，过点 $(0,1)$ 的曲线 $C_3$ 是一单调增函数的图象. 过 $C_2$ 上任一点 $M(x, y)$ 分别作垂直于 $x$ 轴和 $y$ 轴的直线 $l_x$ 和 $l_y$. 记 $C_1, C_2$与 $l_x$ 所围图形的面积为 $S_1(x) ； C_2, C_3$ 与 $l_y$ 所围图形的面积为 $S_2(y)$. 如果总有 $S_1(x)=S_2(y)$ ，求曲线 $C_3$ 的方程 $x=\phi(y)$.