单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1 \\ 0, & |x|>1\end{array}\right.$ ，则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}1,|x| \leq 1 \\ 0,|x|>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leq 1 \\ 1, & |x|>1\end{cases}$
设当 $x \rightarrow 0$ 时， $(1-\cos x) \ln \left(1+x^2\right)$ 是比 $x \sin x^n$ 高阶的无穷小， $x \sin x^n$ 是比 $\left(e^{x^2}-1\right)$ 高阶的无穷小，则正整数 $n$ 等于
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
曲线 $y=(x-1)^2(x-3)^2$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
已知函数 $f(x)$ 在区间 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内具有二阶导数， $f^{\prime}(x)$ 严格单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
$\text{A.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x) < x$
$\text{B.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$
$\text{C.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x) < x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x)>x$
$\text{D.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x) < x$
填空题 （共 15 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{3-x}-\sqrt{1+x}}{x^2+x-2}=$
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $e^{2 x+y}-\cos (x y)=e-1$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的法线方程为
$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^3+\sin ^2 x\right) \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 且满足关系式 $y^{\prime} \arcsin x+\frac{y}{\sqrt{1-x^2}}=1$ 的曲线方程为
设 $\left(\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ 有无穷多个解，则 $a=$
求 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(2 x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}$.
求极限 $\lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $f(x)$ ，求函数 $f(x)$ 的间断点并指出其类型.
设 $\rho=\rho(x)$ 是抛物线 $y=\sqrt{x}$ 上任一点 $M(x, y)(x \geq 1)$处的曲率半径， $s=s(x)$ 是该抛物线上介于点 $A(1,1)$ 与 $M$ 之间的弧长，计算 $3 \rho \frac{\mathrm{d}^2 \rho}{\mathrm{d} s^2}-\left(\frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} s}\right)^2$ 的值. (在直角坐标系下曲率公式为 $K=\frac{\left|y^{\prime \prime}\right|}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导， $f(0)=0$ ，且其反函数为 $g(x)$. 若 $\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=x^2 e^x$ ，求 $f(x)$.
设函数 $f(x) ， g(x)$ 满足，
$$
f^{\prime}(x)=g(x) ， g^{\prime}(x)=2 e^x-f(x),
$$
且 $f(0)=0 ， g(0)=2$ ，求
$$
I=\int_0^\pi\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^2}\right] \mathrm{d} x .
$$
设 $L$ 是一条平面曲线，其上任意一点 $P(x, y)(x>0)$ 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距，且 $L$ 经过点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$.
(1) 试求曲线 $L$ 的方程;
(2) 求 $L$ 位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 $L$ 以及两坐标轴所围图形面积最小.
一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积 $S$成正比，比例常数 $\boldsymbol{K}>0$. 假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，己知半径为 $r_0$ 的雪堆在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 $\frac{7}{8}$ ，问雪堆全部融化需要多少小时?
设 $f(x)$ 在区间 $[-a, a](a>0)$ 上具有二阶连续导数， $f(0)=0$.
(1) 写出 $f(x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2) 证明: 在 $[-a, a]$ 上至少存在一点 $\eta$ ，使
$$
a^3 f^{\prime \prime}(\eta)=3 \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x .
$$
已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right)$, 且矩阵 $X$满足 $A X A+B X B=A X B+B X A+E$ ，其中 $E$ 是 3 阶单位阵，求 $\boldsymbol{X}$.
设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_4$ 为线性方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 的一个基础解系，
$$
\begin{aligned}
& \beta_1=\alpha_1+t \alpha_2, \quad \beta_2=\alpha_2+t \alpha_3, \\
& \beta_3=\alpha_3+t \alpha_4, \quad \beta_4=\alpha_4+t \alpha_1,
\end{aligned}
$$
其中 $t$ 为实常数. 试问 $t$ 满足什么条件时， $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \beta_4$ 也为 $A x=0$ 的一个基础解系.