2021年宁夏高考数学

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2021年宁夏高考数学

一、单选题（共 12 题），每题只有一个选项正确

1. 设

2 (z + \overset{―}{z}) + 3 (z - \overset{―}{z}) = 4 + 6 i

,则

z =

（　　）

A.

1 - 2 i

B.

1 + 2 i

C.

1 + i

D.

1 - i

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2. 已知集合

S = {s | s = 2 n + 1, n \in Z}

，

T = {t | t = 4 n + 1, n \in Z}

则

S \cap T =

（　　）

A.

ϕ

B.

S

C.

T

D.

Z

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3. 3. 已知命题

p : \exists x \in R, \sin x < 1

; 命题

q : \forall x \in R, e^{| x |} ⩾ 1

, 则下列命题中为真命题的是（）

A.

p \land q

B.

\neg p \land q

C.

p \land \neg q

D.

\neg (pVq)

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4. 设函数

f (x) = \frac{1 - x}{1 + x}

, 则下列函数中为奇函数的是（　　）

A.

f (x - 1) - 1

B.

f (x - 1) + 1

C.

f (x + 1) - 1

D.

f (x + 1) + 1

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5. 在正方体

A B C D - A_{i} B_{i} C_{:} D_{i}

中,

P

为

B_{i} D_{i}

的中点, 则直线

P B

与

A D_{i}

所成的角为（　　）

A.

\frac{π}{2}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{π}{4}

D.

\frac{π}{6}

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6. 将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰显 4 个项目进行培训, 每名志愿者只分到 1 个项目, 每个项目至少分配 1 名志愿者, 则不同的分配方案共有（　　）

A.

60 种

B.

120 种

C.

240 种

D.

480 种

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7. 把函数

y = f (x)

图象上所有点的横坐标缩短到原来的

\frac{1}{2}

倍, 纵坐标不变, 再把所得曲线向右平移

\frac{π}{3}

个单位长度, 得到函数

y = \sin (x - \frac{π}{4})

的图像, 则

f (x) =

（　　）

A.

\sin (\frac{x}{2} - \frac{7 π}{12})

B.

\sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{12})

C.

\sin (2 x - \frac{7 π}{12})

D.

\sin (2 x + \frac{π}{12})

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8. 在区间

(0, 1)

与

(1, 2)

中各随机取 1 个数, 则两数之和大于

\frac{7}{4}

的概率为（　　）

A.

\frac{7}{4}

B.

\frac{23}{32}

C.

\frac{9}{32}

D.

\frac{2}{9}

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9. 魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作, 其中第一题是测量海盗的高。如图, 点

E, H, G

在水平线

AC

上,

DE

和

FG

是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度, 称为 “表高”,

EG

称为 “表距”,

GC

和

EH

都称为 “表目距”,

GC

与

EH

的差称为 “表目距的差"。则海岛的高

AB = ()

A.

\frac{表 高 \times 表 距}{表 目 距 的 差} + 表 高

B.

\frac{表 高 \times 表 距}{表 目 距 的 差} - 表 高

C.

\frac{表 高 \times 表 距}{表 目 距 的 差} + 表 距

D.

\frac{表 高 \times 表 距}{表 目 距 的 差} - 表 距

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10. 设

a \neq 0

，若

x = a

为函数

f (x) = a (x - a)^{2} (x - h)

的㭁大值点则 ( )

A.

a < b

B.

a > b

C.

a b < a^{2}

D.

a b > a^{2}

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11. 设

B

是椭圆

C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)

的上顶点, 若

C

上的任意一点

P

都满足

| PB | \leq 2 b

, 则

C

的离心率的取值范围是（　　）

A.

[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1)

B.

[\frac{1}{2}, 1)

C.

(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]

D.

(0, \frac{1}{2}]

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12. 设

a = 2 \ln 1.01, b = \ln 1.02, c = \sqrt{1.04} - 1

, 则（　　）

A.

a < b < c

B.

b < c < a

C.

b < a < c

D.

c < a < b

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二、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

13. 已知双曲线

C : \frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1 (m > 0)

的一条渐近线为

\sqrt{3} x + m y = 0

, 则

C

的焦距为

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14. 已知向量

a = (1, 3), b = (3, 4)

, 若

(a^{-} λ b) ⊥ b

, 则

λ =

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15. 记

△ ABC

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 面积为

\sqrt{3}, B = 60^{\circ}, a^{2} + c^{2} = 3 ac

, 则

b =

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16. 以图(1)为正视图和俯视图, 在图(2)(3)(4)(5)中选两个分别作为侧视图和俯视图, 组成某个三棱雉的三视图, 则所选侧视图和俯视图的编号依次为 (写出符合要求的一组答案即可）.

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 某厂研究了一种生产高精产品的设备, 为检验新设备生产产品的某项指标有无提高, 用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品, 得到各件产品该项指标数据如下:

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和列, 样本方差分别记为

s_{1}^{2}

和

s_{2}^{2}

（1）求

\bar{x}, \bar{y}, s_{1}^{2}, s_{2}^{2}

;
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

\bar{y} - \bar{x} ⩾ 2 \sqrt{\frac{s_{1}^{2} + s_{2}^{2}}{2}}

, 则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高, 否则不认为有显著提高).

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18. 如图, 四棱雉

P - A B C D

的底面是矩形,

P D ⊥

底面

A B C D, P D = D C = 1, M

为

B C

的中点, 且

P B ⊥ A M

,
（1）求

B C

;
（2）求二面角

A - PM - B

的正弦值。

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19. 记

S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项和,

b_{n}

为数列

{S_{n}}

的前

n

项积, 已知

\frac{2}{s_{n}} + \frac{1}{b_{n}} = 2

.
(1) 证明: 数列

{b_{n}}

是等差数列;
（2）求

{a_{n}}

的通项公式.

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20. 设函数

f (x) = \ln (a - x)

, 已知

x = 0

是函数

y = x f (x)

的极值点。
（1）求 a;
（2）设函数

g (x) = \frac{x + f (x)}{x f (x)}

, 证明:

g (x) < 1

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21. 己知抛物线

C : x^{2} = 2 p y (p > 0)

的焦点为

F

, 且

F

与圆

M : x^{2} + (y + 4)^{2} = 1

上点的距离的最小值为

4 .

（1）求 p;
（2）若点

P

在

M

上,

PA, PB

是

C

的两条切线,

A, B

是切点, 求

△ PAB

的最大值.

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22. 在直角坐标系

x O y

中,

⊙ C

的圆心为

C (2, 1)

, 半径为 1 .
(1) 写出

⊙ C

的一个参数方程; 的极坐标方程化为直角坐标方程;
（2）过点

F (4, 1)

作

⊙ C

的两条切线, 以坐标原点为极点,

x

轴正半轴为极轴腱立极坐标系, 求这两条直线的极坐标方程.

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23. 已知函数

f (x) = | x - a | + | x + 3 |

.
(1) 当

a = 1

时, 求不等式

f (x) ⩾ 6

的解集;
（2）若

f (x) ⩾ - a

, 求

a

的取值范围.

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