单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
下列各式中正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=e$
设数列的通项为： $x_n=\left\{\begin{array}{ll}\frac{n^2+\sqrt{n}}{n} & n \text { 为奇数 } \\ \frac{1}{n} & n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ ，则当 $n \rightarrow \infty, x_n$ 是
$\text{A.}$ 无穷大量
$\text{B.}$ 无穷小量
$\text{C.}$ 有界变量
$\text{D.}$ 无界变量
设 $0 \leq a_n < \frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$ ，则下列级数中肯定收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n^2$
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵， $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征根，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的特征根之一是
$\text{A.}$ $\lambda^{-1}|A|^n$
$\text{B.}$ $\lambda^{-1}|A|$
$\text{C.}$ $\lambda|A|$
$\text{D.}$ $\lambda|A|^n$
设 $A$ 与 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A B=0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A=0$ 或 $B=0$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A|=0$ 或 $|B|=0$
$\text{D.}$ $|A|+|B|=\mathbf{0}$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵， $A x=0$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 所对应的齐次线性方组,则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $A x=0$ 仅有零解，则 $A x=b$ 有唯一解
$\text{B.}$ 若 $A x=0$ 有非零解，则 $A x=b$ 有无穷多个解
$\text{C.}$ 若 $A x=b$ 有无穷多个解，则 $A x=0$ 仅有零解
$\text{D.}$ 若 $A x=b$ 有无穷多个解，则 $A x=0$ 有非零解
设 $A$ 和 $B$ 是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 不相容
$\text{B.}$ $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 相容
$\text{C.}$ $P(A B)=P(A) P(B)$
$\text{D.}$ $P(A-B)=P(A)$
对任意两随机变量 $X$ 和 $Y$ ，若 $E(X Y)=E(X) \cdot E(Y)$ ，则
$\text{A.}$ $D(X Y)=D(X) \cdot D(Y)$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
$\text{C.}$ ${X}$ 和 ${Y}$ 独立
$\text{D.}$ $X$ 和 $Y$ 不独立
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $z=e^{\sin x y}$ ，则 $\mathrm{d} z=$
设曲线 $f(x)=x^3+a x$ 与 $g(x)=b x^2+c$ 都通过点 $(-1,0)$ ，且在点 $(-1,0)$ 有公共切线，则 $a=$ $b=$ $\qquad$ , $c=$ $\qquad$
设 $f(x)=x e^x$ ，则 $f^{(n)}(x)$ 在点 $x=$ $\qquad$处取极小值是
设 $A$ 和 $B$ 为可逆矩阵， $X=\left(\begin{array}{ll}0 & A \\ B & 0\end{array}\right)$ 为分块矩阵，则 $X^{-1}=$
$n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & b & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & b \\ b & 0 & 0 & \cdots & 0 & a\end{array}\right|_n=$
设 $A ， B$ 为随机事件， $P(A)=0.7, P(A-B)=0.3$,则 $P(\overline{A B})=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的分布函数为
$$
F(x)=P\{X \leq x\}=\left\{\begin{array}{cc}
0 & x < -1 \\
0.4 & -1 \leq x < 1 \\
0.8 & 1 \leq x < 3 \\
1 & x \geq 3
\end{array}\right. \text {. }
$$
则 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 其中 $n$ 是给定的自然数.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
求不定积分 $I=\int \frac{x^2}{1+x^2} \arctan x \mathrm{~d} x$.
求定积分 $I=\int_{-1}^1(2 x+|x|+1)^2 \mathrm{~d} x$.
已知 $x y=x f(z)+y g(z), x f^{\prime}(z)+y g^{\prime}(z) \neq 0$, 其中 $z=z(x, y)$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数. 求证:
$$
[x-g(z)] \frac{\partial z}{\partial x}=[y-f(z)] \frac{\partial z}{\partial y}
$$
计算二重积分 $I=\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$轴与曲 $\sqrt{\frac{x}{a}}+\sqrt{\frac{y}{b}}=1$ 所围成的区域，其中 $a>0, b>0$.
求方程 $x y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=x^2+y^2$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=e}=2 e$ 的特解.
假设曲线 $L_1: y=1-x^2(0 \leq x \leq 1) 、 x$ 轴和 $y$ 轴所围区域被曲线 $L_2: y=a x^2$ 分为面积相等的两部分，其中 $a$是大于零的常数，试确定的 $a$ 的值.
某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，销量分别为 $q_1$ 和 $q_2$ ，需求函数分别为
$$
q_1=24-0.2 p_1 \text { 和 } q_2=10-0.05 p_2 ，
$$
总成本函数 $C=35+40\left(q_1+q_2\right)$. 试问: 厂家如何确定两个市场售价，能使其获得的总利润最大? 最大总利润为多少?
证明不等式 $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{1}{1+x} \quad(0 < x < +\infty)$.
证明函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内单调增加.
设 $n$ 矩阵 $A$ 和 $B$ 满足条件 $A+B=A B$ ，
(1) 证明 $A-E$ 为可逆矩阵，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵;
(2) 已知 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $A$.
设 $\alpha_1=\left[\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \alpha_2=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right], \alpha_3=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right], \beta=\left[\begin{array}{c}0 \\ \lambda \\ \lambda^2\end{array}\right]$,
问 ${\lambda}$ 取何值时，
（1） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式
唯一?
（2） $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表达式不唯一?
（3）$\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示?
考虑二次型
$$
f=x_1^2+4 x_2^2+4 x_3^2+2 \lambda x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3 ，
$$
问 $\boldsymbol{\lambda}$ 取何值时，为正定二次型?
试证明 $n$ 维列向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 线性无关的充分必要条件是
$D=\left|\begin{array}{cccc}\alpha_1^T \alpha_1 & \alpha_1^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_1^T \alpha_n \\ \alpha_2^T \alpha_1 & \alpha_2^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^T \alpha_n \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \alpha_n^T \alpha_1 & \alpha_n^T \alpha_2 & \cdots & \alpha_n^T \alpha_n\end{array}\right| \neq 0$,
其中 $\alpha_i^T$ 表示列向量 $\alpha_i$ 的转置， $i=1,2, \cdots, n$.
已知向量 $\alpha=(1, k, 1)^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征向量，求常数 $k$ 的值.
在电源电压不超过 200 伏、在 $200 \sim 240$ 伏和超过 240 伏三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为 $0.1,0.001$和 0.2 ，假设电源电压 $X$ 服从正态分布 $N\left(220,25^2\right)$ ，试求:
(1) 该电子元件损坏的概率 $\alpha$;
(2) 该电子元件损坏时，电源电压在 $200 \sim 240$ 伏的概率 $\beta$.
[附表] （表中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数）
一汽车沿一街道行驶，需要经过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等，以 $\boldsymbol{X}$ 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.
(1) 求 $X$ 的概率分布;
(2) 求 $E\left(\frac{1}{1+X}\right)$.
假设随机变量 $X$ 和 $Y$ 在圆域 $x^2+y^2 \leq r^2$ 上服从联合均匀分布.
(1) 求 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho$ ；
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立?
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
p(x, \lambda)=\left\{\begin{array}{cc}
\lambda a x^{a-1} e^{-\lambda x^a} & x>0 \\
0 & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
其中 $\lambda>0$ 中是未知参数， $a>0$ 是已知常数. 试根据来自总体 $X$ 的简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ ，求 $\lambda$ 的最大似然估计量 $\hat{\boldsymbol{\lambda}}$.