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已知向量 $\alpha=(1, k, 1)^T$ 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $A^{-1}$ 的特征向量，求常数 $k$ 的值.
                        
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