三角函数联系专项训练

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三角函数联系专项训练

一、单选题（共 4 题），每题只有一个选项正确

1. 已知函数

f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)

对任意

x \in (0, \frac{3 π}{8})

都有

f (x) > \frac{1}{2}

，则当

ω

取到最大值时，

f (x)

图象的一条对称轴为

A.

x = \frac{π}{8}

B.

x = \frac{3 π}{16}

C.

x = \frac{π}{2}

D.

x = \frac{3 π}{4}

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2. 已知

α

为锐角，

\sin α = \frac{3}{5}

，角

β

的终边上有一点

P (2, 1)

，则

\tan (α + β) =

A.

B.

\frac{10}{11}

C.

\frac{11}{10}

D.

- \frac{11}{12}

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\sin 2023^{\circ} \cos 17^{\circ} + \cos 2023^{\circ} \sin 17^{\circ} =

A.

\frac{1}{2}

B.

- \frac{1}{2}

C.

- \frac{\sqrt{3}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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4. 若

α \in (\frac{3 π}{4}, π)

，化简:

\sqrt{1 - 2 \sin α \cos α} + \sqrt{1 + 2 \sin α \cos α} =

A.

2 \sin α

B.

2 \cos α

C.

- 2 \sin α

D.

- 2 \cos α

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

5. 化简

\frac{1}{\cos 80^{\circ}} - \frac{\sqrt{3}}{\sin 80^{\circ}} =

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6. 已知

\sin (x + \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}

，则

\sin (\frac{5 π}{6} - x) + 2 \cos^{2} (x - \frac{π}{3})

的值

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7. 已知

\tan α = \frac{4}{3}

，求

\frac{\sin α - \cos α}{\sin α + \cos α} =

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三、解答题（共 7 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

8. 已知角

θ

的终边经过点

P (3 a, 4 a) (a < 0)

.
(1) 求

\sin θ

的值;
(2) 求

\sin (\frac{3 π}{2} - θ) + \cos (θ - π)

的值.

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9. 意大利著名画家、数学家、物理学家达

\cdot

芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么? 这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计.经过计算，悬链线的函数方程为

\cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

，并称其为双曲余弦函数. 若

\cos h (\sin θ + \cos θ) \geq \cos h (m - \sin 2 θ)

对

\forall θ \in [0, \frac{π}{2}]

恒成立，则实数

m

的取值范围为

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10. 若角A是二角形

ABC

的一个内角，且

\sin A \cdot \cos A = \frac{2}{3}

，则

\sin A + \cos A =

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11. 已知函数

f (x) = \sin (a π x) + 1 ， a > 0

，将

f (x)

的图象向右平移

\frac{1}{3 a}

个单位长度后得到函数

g (x)

的图象.
(1) 若

g (x)

关于

x = \frac{1}{3}

对称，求

a

的最小值;
(2) 若

a = \frac{1}{2}

，求函数

h (x) = f (x) + g (x)

的单调区间.

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12. 已知函数

f (x) = \sin x (\cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos^{2} x ， x \in R

.
(1) 求函数

f (x)

的单调递增区间;
(2) 若

f (x) - m \geq 2

在

[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]

上恒成立，求实数

m

的取值范围.

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13. (1) 已知

\tan θ = 3

. 求

\frac{2 \sin^{3} (π + θ) \tan (3 π - θ) \sin (- θ)}{\cos (\frac{π}{2} + θ) \cos (\frac{3 π}{2} - θ)}

的值.
(2) 已知

α ， β

都是锐角，

\sin α = \frac{4}{5} ， \cos (α + β) = \frac{5}{13}

，求

\cos β

值.

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14. 已知函数

f (x) = \sqrt{2} \sin (2 ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)

的图象的对称中心到对称轴的最小距离为

\frac{π}{4}

.
(1) 求函数

f (x)

的解析式;
(2) 求函数

f (x)

在区间

[\frac{π}{8}, \frac{3 π}{4}]

上的最小值和最大值.

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