单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $p(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续, $y(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上具有二阶导数且满足
$y^{\prime \prime}(x)+p(x) y^{\prime}(x)-y(x)=0, y(a)=y(b)=0,$ 则在 $[a, b]$ 上, $y(x)$
$\text{A.}$ 有正的最大值,无负的最小值.
$\text{B.}$ 有负的最小值,无正的最大值.
$\text{C.}$ 既有正的最大值, 又有负的最小值.
$\text{D.}$ 既无正的最大值, 又无负的最小值.
点 $P(1,0,1)$ 到直线 $\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-3 z=0\end{array}\right.$ 的距离 $d=$ （ ）
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$.
$\text{D.}$ $\sqrt{3}$.
曲线 $y=\int_0^x \mathrm{e}^{-\sqrt{t}} \mathrm{~d} t$ 与 $y$ 轴及其 $x \rightarrow+\infty$ 方向的水平渐近线所围图形的面积为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 16
设函数 $f(x, y)$ 连续, $f(0,0)=0$, 又设 $F(x, y)=|x-y| f(x, y)$, 则 $F(x, y)$ 在点 $(0,0)$处
$\text{A.}$ 连续; 但不可微.
$\text{B.}$ 连续, 但偏导数不存在.
$\text{C.}$ 偏导数存在, 但不可微.
$\text{D.}$ 可微.
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛,下面 4 个级数，
(1) $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$;
(2) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n-a_{n+1}\right)$;
(3) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$;
(4) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}-a_{2 n}\right)$.
必收敛的个数为 （ ）
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设函数 $f(x)$ 连续且满足 $f(x+\pi)+f(x)=0$, 则 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶系数 $(n=1$, $2, \cdots)$
$\text{A.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n}=0$.
$\text{B.}$ $a_{2 n}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{C.}$ $a_{2 n-1}=0, b_{2 n-1}=0$.
$\text{D.}$ $a_{2 \pi-1}=0, b_{2 n}=0$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $A_{i j}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式, $i, j=1,2,3, \boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, $\boldsymbol{y}=\left(y_1, y_2, y_3\right)^{\mathrm{T}}$, 若 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 经正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为 $3 y_1^2-2 y_2^2+y_3^2$, 则 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j$ 经可逆变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q y}$ 可化为规范形
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2+y_3^2$.
$\text{B.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{C.}$ $-y_1^2+y_2^2-y_3^2$.
$\text{D.}$ $-y_1^2-y_2^2-y_3^2$.
设 $P_i\left(x_i, y_i, z_i\right)(i=1,2, \cdots, n ; n>3)$ 是不重合的点, $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\ z_1 & z_2 & \cdots & z_n \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right]$, 若 $P_1$ $P_2, \cdots, P_n$ 共面, 则 $r(\boldsymbol{A})$
$\text{A.}$ 必为 2 .
$\text{B.}$ 为 1 或 2 .
$\text{C.}$ 为 2 或 3 .
$\text{D.}$ 必为 3 .
对任意事件 $A, B$,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $P(A) P(B) \geqslant P(A \cup B) P(A B)$.
$\text{B.}$ $P(A)+P(B) \leqslant 2 P(A B)$.
$\text{C.}$ $P(A)+P(A B) \geqslant P(A \cup B)$.
$\text{D.}$ $P(A)+P(B) \leqslant P(A \cup B) P(A B)$.
设随机变量 $X \sim N(1,1), Y \sim N(-1,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $(X, Y)$ 服从二维正态分布.
$\text{B.}$ $2 X+Y$ 服从正态分布.
$\text{C.}$ $P\{2 X+Y>1\}=\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $2 X+Y$ 与 $X+2 Y$ 相互独立.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知可微函数 $f(x, y)$ 满足 $f(t x, t y)=t f(x, y), t>0$, 且 $f_1(1,-2)=4$, 则曲面 $z=$ $f(x, y)$ 在点 $P_0(1,-2,2)$ 处的切平面方程为
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{y}{x}=2 y^2 \ln x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=\mathrm{e}}=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 的特解为 $y=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n) !}=$
设 $y^{\prime}=f(x, y)$ 是一条简单封闭曲线 $L$ (取正向), $f(x, y) \neq 0$, 其所围区域记为 $D, D$ 的面积为 $a, a>0$, 则 $I=\oint_L x f(x, y) \mathrm{d} x-\frac{y}{f(x, y)} \mathrm{d} y=$
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶方阵, 可逆矩阵 $\boldsymbol{P}=(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right], \boldsymbol{Q}=(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})$, 则 $\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{Q}=$
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}$ 相互独立, 且均服从二项分布 $B\left(1, \frac{1}{2}\right)$, 若根据中心极限定理, 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{a \sum_{i=1}^n\left(X_{2 i}-X_{2 i-1}\right) \leqslant \sqrt{n} x\right\}=\Phi(x),
$$
其中 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则 $a=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y=y(x)$ 是由方程 $\mathrm{e}^{-y}-y+\int_0^x\left(\mathrm{e}^{-t^2}+1\right) \mathrm{d} t=1$ 所确定的隐函数.
(1) 证明 $y(x)$ 是单调增加函数;
（2）当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 曲线 $y^{\prime}(x)$ 是否有水平渐近线, 若有, 求出其渐近线方程, 若没有, 说明理由.
已知函数
$$
f(x)=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2 t \mathrm{~d} t \int_0^x \frac{u^2 \mathrm{~d} u}{\left(1+u^2 \sin ^2 t\right)^2},
$$
$F(x)=f(x)-x=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,-1 < x < 1 \text {, }$
求$a_n$的表达式
设点 $P_1\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 是椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$ 在第一卦限上的点, $\Sigma$ 是椭球面在点 $P_1$ 处的切平面被三个坐标面所截得的三角形区域, 取上侧. 求
$$
I=\iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
的最小值, 并求出此时点 $P_1$ 的坐标.
设曲面 $\Sigma$ 由直线段 $L:\left\{\begin{array}{l}x=\frac{\sqrt{2}}{2}(t-1), \\ y=\frac{\sqrt{2}}{2}(t+1), \\ z=t\end{array},(0 \leqslant t \leqslant 1)\right.$ 绕 $z$ 轴旋转一周得到, 空间区域 $\Omega$ 由 $\Sigma$ 与平面 $z=0, z=1$ 所围成, 求 $\Omega$ 的形心.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的三个不同的特征值, 其对应的特征向量为 $\xi_1, \xi_2, \xi_3, \alpha=$ $\xi_1+\xi_2+\xi_3, P=\left(\alpha, A \alpha, A^2 \alpha\right)$.
(1) 证明 $\boldsymbol{P}$ 可逆;
(2) 若 $\left(\boldsymbol{A}^3-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{0}$, 求 $|\boldsymbol{A}-3 \boldsymbol{E}|$.
设总体 $X$ 服从 $(0, \theta]$ 上的均匀分布, $\theta>0, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $Z=\frac{\hat{\theta}}{\theta}$ 的分布函数;
(3) 若 $P\left\{\hat{\theta} < \theta < \theta_0\right\}=1-\alpha, 0 < \alpha < 1$, 求 $\theta_0$.