单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
多项式 $f(x)=\left|\begin{array}{cccc}x & -1 & 2 x & -x \\ 2 & x & 2 & 1 \\ 2 & 0 & -x & -1 \\ -1 & 2 & 1 & x\end{array}\right|$ 的常数项为
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 8
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $E(X)=\theta$. 检验 $H_0: \theta=0$; $H_1: \theta \neq 0$, 且拒绝域 $W_1=\{|\bar{X}|>1\}$ 和 $W_2=\{|\bar{X}|>2\}$ 分别对应显著性水平 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$, 则
$\text{A.}$ $\alpha_1=\alpha_2$.
$\text{B.}$ $\alpha_1>\alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_1 < \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的大小关系不确定.
已知 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵, $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵, 记矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{E} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\end{array}\right)$ 的秩分别为 $r_1, r_2, r_3$, 则
$\text{A.}$ $r_1=r_2 \geqslant r_3$.
$\text{B.}$ $r_1=r_2 \leqslant r_3$.
$\text{C.}$ $r_1=r_3 \geqslant r_2$.
$\text{D.}$ $r_1=r_3 \leqslant r_2$.
已知函数 $f(x), g(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(x)>0, g^{\prime}(x) < 0$, 则
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 f(x) g(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 f(x) g(x) \mathrm{d} x$.
$\text{B.}$ $\int_{-1}^0|f(x) g(x)| \mathrm{d} x>\int_0^1|f(x) g(x)| \mathrm{d} x$.
$\text{C.}$ $\int_{-1}^0 f[g(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 f[g(x)] \mathrm{d} x$.
$\text{D.}$ $\int_{-1}^0 f[f(x)] \mathrm{d} x>\int_0^1 g[g(x)] \mathrm{d} x$.
设口袋中有 10 个球, 其中 6 个红球, 4 个白球, 每次不放回地从中任取一个, 取两次, 若取出的两个球中有 1 个是白球, 则两个都是白球的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
设平面曲线 $L: f(x, y)=1$ 过第一象限的点 $A$ 和第三象限的点 $B, f(x, y)$ 有一阶连续偏导数, $\Gamma$ 为 $L$ 上从点 $A$ 到点 $B$ 的一段弧, 设 $I_1=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} x, I_2=\int_{\Gamma} f(x, y) \mathrm{d} s, I_3=\int_{\Gamma} f_x^{\prime}(x, y) \mathrm{d} x+$ $f_y^{\prime}(x, y) \mathrm{d} y$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_3>I_2$.
$\text{B.}$ $I_2>I_3>I_1$.
$\text{C.}$ $I_3>I_1>I_2$.
$\text{D.}$ $I_3>I_2>I_1$.
下列直线中不是曲线 $y=\sqrt{4 x^2+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线的是
$\text{A.}$ $x=-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2+1$.
$\text{C.}$ $y=2 x \ln 2+\frac{1}{4} \ln 2$.
$\text{D.}$ $y=-2 x \ln 2-\frac{1}{4} \ln 2-1$.
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
设 $|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right|$, 则 $\sum_{i, j=1}^3 A_{i j}=$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ -3
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次, 已知每次射击甲命中目标的概率为 $p(0 < p$ $ < 1)$, 乙命中目标的概率为 0.6 , 则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 $p$ 为
$\text{A.}$ 0.6
$\text{B.}$ 0.7
$\text{C.}$ $\frac{7}{11}$.
$\text{D.}$ $\frac{8}{11}$.
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 连续, 且当 $x \rightarrow 0$ 时 $F(x)=\int_0^x\left(x^2+1-\cos t\right) f(t) \mathrm{d} t$ 是与 $x^3$ 等价的无穷小, 则 $f(0)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n \sum_{k=1}^n \ln \left(1+\frac{k}{n^2}\right)-\frac{1}{2}(n+1)\right]$
可微函数 $f(x)$ 满足 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 且 $f(0)=1$, 则 $f(x)=$
已知函数 $f(x, y)=4+a x+a y$ 在区域 $x^2+y^2 \leqslant 1$ 上的最小值与最大值之积为 $\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,则 $a=$
设 3 阶对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的第一行元素为 $1,2,3$, 第一行元素的代数余子式为 $0,1,-1$, 则方程组 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的解为
袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用 $X$ 表示抽取次数, 则数学期望 $E X=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算曲线积分 $I=\oint_L\left[\frac{4 x-y}{4 x^2+y^2}-\frac{y}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} x+\left[\frac{x+y}{4 x^2+y^2}+\frac{x-1}{(x-1)^2+y^2}\right] \mathrm{d} y$, 其中 $L$是 $x^2+y^2=4$ 的边界曲线, 方向为逆时针.
对于任意二阶连续可导的函数 $f(u), z=\int_0^y \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t+f(x+a y)$ 均是方程 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2 y \mathrm{e}^{y^2}$ 的解, 求 $a$ 的值.
求曲线 $y=\mathrm{e}^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x \geqslant 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积.
设$ a_n=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-n^2 x^2} \mathrm{~d} x, n=1,2, $求 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n a_{n+2} \text {. }
$
设实矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc}4 & 2 \\ a & -3\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & b\end{array}\right)$, 其中 $b$ 为正整数.
(1) 若存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 求出 $a, b$ 的值与矩阵 $\boldsymbol{P}$;
(2) 对于 (1) 中的 $a, b$, 是否存在正交矩阵 $Q$, 使得 $Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$, 若存在, 求出 $Q$, 若不存在, 说明理由.
设某手机每天销售量 $X$ (单位:万台) 的概率分布律为
$$
X \sim\left(\begin{array}{ccc}
10 & 15 & 20 \\
\theta^2 & \theta(1-\theta) & 1-\theta
\end{array}\right),
$$
其中 $0 < \theta < 1$ 为未知参数, 且每天的退货率为 $5 \%$, 现有一周的销售量: $15,10,10,15,20,20,15$.
(1) 求 $\theta$ 的最大似然估计值 $\hat{\theta}$;
(2) 记 $Y$ 为每天的退货量, 根据 (1) 中的 $\hat{\theta}$, 求 $E(Y)$.