2024年考研数学模拟试卷（提高篇）

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2024年考研数学模拟试卷（提高篇）

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 多项式

f (x) = | \begin{array}{cccc} x & - 1 & 2 x & - x \\ 2 & x & 2 & 1 \\ 2 & 0 & - x & - 1 \\ - 1 & 2 & 1 & x \end{array} |

的常数项为

A.

B.

C.

D.

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2. 设

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本,

\bar{X}

为样本均值,

E (X) = θ

. 检验

H_{0} : θ = 0

;

H_{1} : θ \neq 0

, 且拒绝域

W_{1} = {| \bar{X} | > 1}

和

W_{2} = {| \bar{X} | > 2}

分别对应显著性水平

α_{1}

和

α_{2}

, 则

A.

α_{1} = α_{2}

B.

α_{1} > α_{2}

C.

α_{1} < α_{2}

D.

α_{1}

和

α_{2}

的大小关系不确定.

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3. 已知

A

为

n

阶矩阵,

E

为

n

阶单位矩阵, 记矩阵

(\begin{array}{cc} O & A \\ A^{T} & E \end{array}), (\begin{array}{cc} O & A^{T} A \\ A^{T} & E \end{array}), (\begin{array}{cc} A^{T} & E \\ A^{T} A A^{T} & A^{T} A \end{array})

的秩分别为

r_{1}, r_{2}, r_{3}

, 则

A.

r_{1} = r_{2} ⩾ r_{3}

B.

r_{1} = r_{2} ⩽ r_{3}

C.

r_{1} = r_{3} ⩾ r_{2}

D.

r_{1} = r_{3} ⩽ r_{2}

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4. 已知函数

f (x), g (x)

可导, 且

f^{'} (x) > 0, g^{'} (x) < 0

, 则

A.

\int_{- 1}^{0} f (x) g (x) d x > \int_{0}^{1} f (x) g (x) d x

B.

\int_{- 1}^{0} | f (x) g (x) | d x > \int_{0}^{1} | f (x) g (x) | d x

C.

\int_{- 1}^{0} f [g (x)] d x > \int_{0}^{1} f [g (x)] d x

D.

\int_{- 1}^{0} f [f (x)] d x > \int_{0}^{1} g [g (x)] d x

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5. 设口袋中有 10 个球, 其中 6 个红球, 4 个白球, 每次不放回地从中任取一个, 取两次, 若取出的两个球中有 1 个是白球, 则两个都是白球的概率为

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{5}

C.

\frac{1}{4}

D.

\frac{1}{6}

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6. 设平面曲线

L : f (x, y) = 1

过第一象限的点

A

和第三象限的点

B, f (x, y)

有一阶连续偏导数,

Γ

为

L

上从点

A

到点

B

的一段弧, 设

I_{1} = \int_{Γ} f (x, y) d x, I_{2} = \int_{Γ} f (x, y) d s, I_{3} = \int_{Γ} f_{x}^{'} (x, y) d x +

f_{y}^{'} (x, y) d y

, 则

A.

I_{1} > I_{3} > I_{2}

B.

I_{2} > I_{3} > I_{1}

C.

I_{3} > I_{1} > I_{2}

D.

I_{3} > I_{2} > I_{1}

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7. 下列直线中不是曲线

y = \sqrt{4 x^{2} + x} \ln (2 + \frac{1}{x})

的渐近线的是

A.

x = - \frac{1}{2}

B.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2 + 1

C.

y = 2 x \ln 2 + \frac{1}{4} \ln 2

D.

y = - 2 x \ln 2 - \frac{1}{4} \ln 2 - 1

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8. 已知

P (A) = P (B) = \frac{2}{3}

, 又设

I = P (A ∣ B) + P (B ∣ A)

, 则

I

的最大可能取值

I_{1}

和最小可能取值

I_{2}

之差为

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{1}{2}

D.

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9. 设

| A | = | \begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} |

, 则

\sum_{i, j = 1}^{3} A_{i j} =

A.

B.

-3

C.

D.

-1

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10. 甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次, 已知每次射击甲命中目标的概率为

p (0 < p

< 1)

, 乙命中目标的概率为 0.6 , 则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的

p

为

A.

0.6

B.

0.7

C.

\frac{7}{11}

D.

\frac{8}{11}

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 设

f (x)

连续, 且当

x \to 0

时

F (x) = \int_{0}^{x} (x^{2} + 1 - \cos t) f (t) d t

是与

x^{3}

等价的无穷小, 则

f (0) =

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12.

lim_{n \to \infty} [n \sum_{k = 1}^{n} \ln (1 + \frac{k}{n^{2}}) - \frac{1}{2} (n + 1)]

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13. 可微函数

f (x)

满足

f^{'} (x) = f (x) + \int_{0}^{1} f (x) d x

, 且

f (0) = 1

, 则

f (x) =

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14. 已知函数

f (x, y) = 4 + a x + a y

在区域

x^{2} + y^{2} ⩽ 1

上的最小值与最大值之积为

\iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} f (x, y) d x d y

,则

a =

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15. 设 3 阶对称矩阵

A

的第一行元素为

1, 2, 3

, 第一行元素的代数余子式为

0, 1, - 1

, 则方程组

A^{*} x = (\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array})

的解为

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16. 袋中有 4 个球, 其中有 2 个白球和 2 个黑球, 从中任意取出 2 个球, 如果取出的 2 个球中恰好是 1 个白球和 1 个黑球就停止试验, 否则将这 2 个球放回袋中重新抽取 2 个球, 直到取到 1 个白球和 1 个黑球为止. 用

X

表示抽取次数, 则数学期望

E X =

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三、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

17. 计算曲线积分

I = \oint_{L} [\frac{4 x - y}{4 x^{2} + y^{2}} - \frac{y}{(x - 1)^{2} + y^{2}}] d x + [\frac{x + y}{4 x^{2} + y^{2}} + \frac{x - 1}{(x - 1)^{2} + y^{2}}] d y

, 其中

L

是

x^{2} + y^{2} = 4

的边界曲线, 方向为逆时针.

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18. 对于任意二阶连续可导的函数

f (u), z = \int_{0}^{y} e^{t^{2}} d t + f (x + a y)

均是方程

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 2 y e^{y^{2}}

的解, 求

a

的值.

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19. 求曲线

y = e^{- \frac{x}{2}} \sqrt{\sin x} (x ⩾ 0)

绕

x

轴旋转一周所成旋转体的体积.

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20. 设

a_{n} = \int_{0}^{+ \infty} e^{- n^{2} x^{2}} d x, n = 1, 2,

求

\sum_{n = 1}^{\infty} (- 1)^{n} a_{n} a_{n + 2} .

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21. 设实矩阵

A = (\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ a & - 3 \end{array}), B = (\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & b \end{array})

, 其中

b

为正整数.
(1) 若存在可逆矩阵

P

, 使得

P^{T} A P = B

, 求出

a, b

的值与矩阵

P

;
(2) 对于 (1) 中的

a, b

, 是否存在正交矩阵

Q

, 使得

Q^{T} A Q = B

, 若存在, 求出

Q

, 若不存在, 说明理由.

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22. 设某手机每天销售量

X

(单位:万台) 的概率分布律为

X \sim (\begin{array}{ccc} 10 & 15 & 20 \\ θ^{2} & θ (1 - θ) & 1 - θ \end{array}),

其中

0 < θ < 1

为未知参数, 且每天的退货率为

5 %

, 现有一周的销售量:

15, 10, 10, 15, 20, 20, 15

.
(1) 求

θ

的最大似然估计值

\hat{θ}

;
(2) 记

Y

为每天的退货量, 根据 (1) 中的

\hat{θ}

, 求

E (Y)

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