单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
3的倒数是（ ）
$\text{A.}$ $-3$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（ ）
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
下列运算正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$
$\text{B.}$ $4 \sqrt{5}-\sqrt{5}=4$
$\text{C.}$ $\sqrt{3} \times \sqrt{2}=\sqrt{6}$
$\text{D.}$ $\sqrt{32} \div \sqrt{8}=4$
中国疫苗撑起全球抗疫“生命线” 中国外交部数据显示，截止2021年3月底，我国已无偿向80个国家和3个国际组织提供疫苗援助．预计2022年中国新冠疫苗产能有望达到50亿剂，约占全球产能的一半，必将为全球抗疫作出重大贡献．数据“50亿”用科学记数法表示为
$\text{A.}$ $5 \times 10^{8}$
$\text{B.}$ $5 \times 10^{9}$
$\text{C.}$ $5 \times 10^{10}$
$\text{D.}$ $5 \times 10^{11}$
将直线 $y=5 x$ 向下平移 2 个单位长度, 所得直线的表达式为 ( )
$\text{A.}$ $y=5 x-2$
$\text{B.}$ $y=5 x+2$
$\text{C.}$ $y=5(x+2)$
$\text{D.}$ $y=5(x-2)$
如图, 直线 $D E / / B F$, Rt $\triangle A B C$ 的顶点 $B$ 在 $B F$ 上, 若 $\angle C B F=20^{\circ}$, 则 $\angle A D E=(\quad)$
$\text{A.}$ $70^{\circ}$
$\text{B.}$ $60^{\circ}$
$\text{C.}$ $75^{\circ}$
$\text{D.}$ $80^{\circ}$
如图, 点 $A, B, C, D, E$ 在圆 $\mathrm{O} \|$ 上, $A B=C D, \angle A O B=42^{\circ}$, 则 $\angle C E D=()$
$\text{A.}$ $48^{\circ}$
$\text{B.}$ $24^{\circ}$
$\text{C.}$ $22^{\circ}$
$\text{D.}$ $21^{\circ}$
我国古代数学著作《孙子算经》有 “多人共车” 问题: “今有三人共车, 二车空; 二人共车,
九人步. 问: 人与车各几何?”其大意如下: 有若干人要坐车, 如果每 3 人坐一辆车, 那么 有 2 辆空车; 如果每 2 人坐一辆车, 那么有 9 人需要步行, 问人与车各多少? 设共有 $x$ 人, $y$ 辆车, 则可列方程组为( )
$\text{A.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y-2)=x \\ 2 y-9=x\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y+2)=x \\ 2 y+9=x\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y-2)=x \\ 2 y+9=x\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}3(y+2)=x \\ 2 y-9=x\end{array}\right.$
对于任意的有理数 $a, b$, 如果满足 $\frac{a}{2}+\frac{b}{3}=\frac{a+b}{2+3}$, 那么我们称这一对数 $a, b$ 为 “相随数 对”” 记为 $(a, b)$. 若 $(m, n)$ 是 “相随数对”, 则 $3 m+2[3 m+(2 n-1)]=(\quad)$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
|如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=B C, B D \perp A C$ 于点 $D(A D>B D)$. 动点 $M$ 从 $A$ 点出发, 沿折 线 $A B \rightarrow B C$ 方向运动, 运动到点 $C$ 停止. 设点 $M$ 的运动路程为 $x, \triangle A M D$ 的面积为 $y, y$ 与 $x$ 的函数图象如图 2, 则 $A C$ 的长为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ 9
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
关于 $x$ 的不等式 $\frac{1}{3} x-1>\frac{1}{2}$ 的解集是
关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2 x+k=0$ 有两个相等的实数根, 则 $k$ 的值是
开学前，根据学校防疫要求，小芸同学连续14天进行了体温测量，结果统计如表：
这14天中，小芸体温的众数是
如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $E$ 是 $B C$ 边上一点, $\angle A E D=90^{\circ}, \angle E A D=30^{\circ}$, $F$ 是 $A D$ 边的中点, $E F=4 \mathrm{~cm}$, 则 $B E=$
若点 $A\left(-3, y_{1}\right), B\left(-4, y_{2}\right)$ 在反比例函数 $y=\frac{a^{2}+1}{x}$ 的图象上, 则 $ y_{1} $ （ ） $ y_{2} $. (填 $ > $ 或 $ < $ 或 $ = )$
如图, 从一块直径为 $4 \mathrm{dm} $ 的圆形铁皮上剪出一圆心角为 $ 90^{\circ} $ 的扇形, 则此扇形的面积为
一组按规律排列的代数式: $a+2 b, a^{2}-2 b^{3}, a^{3}+2 b^{5}, a^{4}-2 b^{7}, \ldots$, 则第 $n$ 个式子是
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算： $(2021-\pi)^{0}+\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}-2 \cos 45^{\circ}$.
先化简, 再求值: $\left(2-\frac{2 x}{x-2}\right) \div \frac{x^{2}-4}{x^{2}-4 x+4}$, 其中 $x=4$.
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引
理. 如图, 已知 $A B, C$ 是弦 $A B$ 上一点, 请你根据以下步骤完成这个引理的作图过程.
（1）尺规作图 (保留作图痕迹, 不写作法);
(1)作线段 $A C$ 的垂直平分线 $D E$, 分别交 $A B$ 于点 $D, A C$ 于点 $E$, 连接 $A D, C D$;
(2)以点 $D$ 为圆心, $D A$ 长为半径作弧, 交 $A B$ 于点 $F(F, A$ 两点不重合), 连接 $D F, B D$,
$B F$.
(2) 直接写出引理的结论: 线段 $B C, B F$ 的数量关系.
如图 1 是平凉市地标建筑 “大明宝塔”, 始建于明嘉靖十四年 (1535 年), 是明代平凉韩王府 延恩寺的主体建筑. 宝塔建造工艺精湛, 与崆峒山的凌空塔遥相呼应, 被誉为平凉古塔 “双 璧”. 某数学兴趣小组开展了测量 “大明宝塔的高度” 的实践活动, 具体过程如下: 方案设计: 如图 2, 宝塔 $C D$ 垂直于地面, 在地面上选取 $A, B$ 两处分别测得 $\angle C A D$ 和 $\angle C B D$ 的度数 ( $A, D, B$ 在同一条直线上).
数据收集: 通过实地测量: 地面上 $A, B$ 两点的距离为 $58 m, \angle C A D=42^{\circ}, \angle C B D=58^{\circ}$.
问题解决: 求宝塔 $C D$ 的高度 (结果保留一位小数).
参考数据: $\sin 42^{\circ} \approx 0.67, \cos 42^{\circ} \approx 0.74, \tan 42^{\circ} \approx 0.90, \sin 58^{\circ} \approx 0.85, \cos 58^{\circ} \approx 0.53$, $\tan 58^{\circ} \approx 1.60 .$
根据上述方案及数据, 请你完成求解过程.
一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球, 每个小球除颜色外其他完全相同,
每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球, 记下颜色后再放回箱子里, 通过大量重复实 验后, 发现摸到红色小球的频率稳定于 $0.75$ 左右.
(1) 请你估计箱子里白色小球的个数;
(2) 现从该箱子里摸出 1 个小球, 记下颜色后放回箱子里, 摇匀后, 再摸出 1 个小球, 求 两次摸出的小球颜色恰好不同的概率 (用画树状图或列表的方法).
为庆祝中国共产党建党 100 周年, 某校开展了以 “学习百年党史, 汇聚团结伟力”为主题的 知识竞赛, 竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计, 按成绩分成 $A, B, C, D, E$ 五个等级, 并绘制了如下不完整的统计图. 请结合统计图, 解答下列问题:
(1) 本次调查一共随机抽取了 —名学生的成绩, 频数分布直方图中 $m=$
(2) 补全学生成绩频数分布直方图;
（3）所抽取学生成绩的中位数落在 等级;
(4) 若成绩在 80 分及以上为优秀, 全校共有 2000 名学生, 估计成绩优秀的学生有多少人?
如图 1, 小刚家、学校、图书馆在同一条直线上, 小刚骑自行车匀速丛学校到图书馆, 到达 图书馆还完书后, 再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计). 小刚离家的距 离 $y(m)$ 与他所用的时间 $x(\min )$ 的函数关系如图 2 所示.
(1) 小刚家与学校的距离为 $m$, 小刚骑自行车的速度为 $\mathrm{m} / \mathrm{min}$;
(2) 求小刚从图书馆返回家的过程中, $y$ 与 $x$ 的函数表达式;
（3）小刚出发 35 分钟时, 他离家有多远?
如图, $\triangle A B C$ 内接于 e $O, D$ 是 $\mathrm{e} O$ 的直径 $A B$ 的延长线上一点, $\angle D C B=\angle O A C$. 过圆心 $O$ 作 $B C$ 的平行线交 $D C$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证: $C D$ 是 e $O$ 的切线;
(2) 若 $C D=4, C E=6$, 求 e $O$ 的半径及 $\tan \angle O C B$ 的值.
问题解决: 如图 1, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $E, F$ 分别在 $A B, B C$ 边上, $D E=A F, D E \perp A F$ 于点 $G$.
(1) 求证: 四边形 $A B C D$ 是正方形;
(2) 延长 $C B$ 到点 $H$, 使得 $B H=A E$, 判断 $\triangle A H F$ 的形状, 并说明理由.
类比迁移: 如图 2, 在菱形 $A B C D$ 中, 点 $E, F$ 分别在 $A B, B C$ 边上, $D E$ 与 $A F$ 相交于点 $G, D E=A F, \angle A E D=60^{\circ}, A E=6, B F=2$, 求 $D E$ 的长.
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 与坐标轴交 于 $A(0,-2), B(4,0)$ 两点, 直线 $B C: y=-2 x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$. 点 $D$ 为直线 $A B$ 下方抛物线 上一动点, 过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线, 垂足为 $G, D G$ 分别交直线 $B C, A B$ 于点 $E, F$.
（1）求抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 的表达式;
(2) 当 $G F=\frac{1}{2}$ 时, 连接 $B D$, 求 $\triangle B D F$ 的面积;
(3) (1) $H$ 是 $y$ 轴上一点, 当四边形 $B E H F$ 是矩形时, 求点 $H$ 的坐标;
(2)在(1)的条件下, 第一象限有一动点 $P$, 满足 $P H=P C+2$, 求 $\triangle P H B$ 周长的最小值.
