题号:900    题型:解答题    来源:2021年甘肃省白银市中考数学试卷
如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 与坐标轴交 于 $A(0,-2), B(4,0)$ 两点, 直线 $B C: y=-2 x+8$ 交 $y$ 轴于点 $C$. 点 $D$ 为直线 $A B$ 下方抛物线 上一动点, 过点 $D$ 作 $x$ 轴的垂线, 垂足为 $G, D G$ 分别交直线 $B C, A B$ 于点 $E, F$.
(1)求抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 的表达式;
(2) 当 $G F=\frac{1}{2}$ 时, 连接 $B D$, 求 $\triangle B D F$ 的面积;
(3) (1) $H$ 是 $y$ 轴上一点, 当四边形 $B E H F$ 是矩形时, 求点 $H$ 的坐标;
(2)在(1)的条件下, 第一象限有一动点 $P$, 满足 $P H=P C+2$, 求 $\triangle P H B$ 周长的最小值.
0 条评论 分享 0 人点赞 收藏 ​ ​ 0 次查看 我来讲解
答案:
解: (1) $ $ 抛物线 $y=\frac{1}{2} x^{2}+b x+c$ 过 $A(0,-2), B(4,0)$ 两点,
$\therefore\left\{\begin{array}{l}c=-2 \\ 8+4 b+c=0\end{array}\right.$,
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=-\frac{3}{2}, \\ c=-2\end{array}\right.$
$\therefore y=\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{2} x-2$.
(2) $ B(4,0), A(0,-2)$,
$\therefore O B=4, O A=2$,
$ G F \perp x$ 轴, $O A \perp x$ 轴,
在 Rt $\triangle \mathrm{BOA}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{BGF}$ 中, $\tan \angle A B O=\frac{O A}{O B}=\frac{G F}{G B}$,
即 $\frac{2}{4}=\frac{\frac{1}{2}}{G B}$,
$\therefore G B=1$,
$$
\therefore O G=O B-G B=4-1=3 \text {, }
$$
当 $x=3$ 时, $y_{D}=\frac{1}{2} \times 9-\frac{3}{2} \times 3-2=-2$,
$$
\therefore D(3,-2) \text {, 即 } G D=2 ,
$$
$$
\begin{aligned}
&\therefore F D=G D-G F=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}, \\
&\therefore S_{\triangle B D F}=\frac{1}{2} \cdot D F \cdot B G=\frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times 1=\frac{3}{4} .
\end{aligned}
$$
(3) (1)如图 1 中, 过点 $H$ 作 $H M \perp E F$ 于 $M$,



$ $ 四边形 $B E H F$ 是矩形,
$$
\begin{aligned}
&\therefore E H / / B F, E H=B F, \\
&\therefore \angle H E F=\angle B F E, \\
& \angle E M H=\angle F G B=90^{\circ}, \\
&\therefore \triangle E M H \cong \triangle F G B(A A S), \\
&\therefore M H=G B, E M=F G, \\
& H M=O G, \\
&\therefore O G=G B=\frac{1}{2} O B=2, \\
& A(0,-2), B(4,0),
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 直线 $A B$ 的解析式为 $y=\frac{1}{2} x-2$,
设 $E(a,-2 a+8), F\left(a, \frac{1}{2} a-2\right)$,
由 $M H=B G$ 得到, $a-0=4-a$,
$$
\begin{aligned}
&\therefore a=2 \\
&\therefore E(2,4), F(2,-1) \\
&\therefore F G=1 \\
& E M=F G
\end{aligned}
$$
\begin{aligned}
&\therefore 4-y_{H}=1, \\
&\therefore y_{H}=1, \\
&\therefore H(0,3) .
\end{aligned}

如图2中

$$
B H=\sqrt{O H^{2}+O B^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5 \text {, }
$$
$ P H=P C+2$,
$\therefore \triangle P H B$ 的周长 $=P H+P B+H B=P C+2+P B+5=P C+P B+7$,
要使得 $\triangle P H B$ 的周长最小, 只要 $P C+P B$ 的值最小,
$ P C+P B ., B C$,
$\therefore$ 当点 $P$ 在 $B C$ 上时, $P C+P B=B C$ 的值最小,
$ B C=\sqrt{O C^{2}+O B^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4 \sqrt{5}$,
$\therefore \triangle P H B$ 的周长的最小值为 $4 \sqrt{5}+7$.
①因本站题量较多,无法仔细核对每一个试题,如果试题有误,请点击 编辑进行更正。
②如果您有更好的解答,可以点击 我要评论进行评论。
③如果您想挑战您的朋友,点击 我要分享 下载题目图片发给好友。

关闭