数学试题讲解

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如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线

y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

与坐标轴交于

A (0, - 2), B (4, 0)

两点, 直线

B C : y = - 2 x + 8

交

y

轴于点

C

. 点

D

为直线

A B

下方抛物线上一动点, 过点

D

作

x

轴的垂线, 垂足为

G, D G

分别交直线

B C, A B

于点

E, F

.
（1）求抛物线

y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c

的表达式;
(2) 当

G F = \frac{1}{2}

时, 连接

B D

, 求

△ B D F

的面积;
(3) (1)

H

是

y

轴上一点, 当四边形

B E H F

是矩形时, 求点

H

的坐标;
(2)在(1)的条件下, 第一象限有一动点

P

, 满足

P H = P C + 2

, 求

△ P H B

周长的最小值.