题号:898    题型:解答题    来源:2021年甘肃省白银市中考数学试卷
如图, $\triangle A B C$ 内接于 e $O, D$ 是 $\mathrm{e} O$ 的直径 $A B$ 的延长线上一点, $\angle D C B=\angle O A C$. 过圆心 $O$ 作 $B C$ 的平行线交 $D C$ 的延长线于点 $E$.
(1) 求证: $C D$ 是 e $O$ 的切线;
(2) 若 $C D=4, C E=6$, 求 e $O$ 的半径及 $\tan \angle O C B$ 的值.
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答案:
(1) 证明: $ O A=O C$,
$\therefore \angle O A C=\angle O C A$,
$ \angle D C B=\angle O A C$,
$\therefore \angle O C A=\angle D C B$,
Q $A B$ 是 e $O$ 的直径,
$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle O C A+\angle O C B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle D C B+\angle O C B=90^{\circ}$,
即 $\angle O C D=90^{\circ}$,
$\therefore O C \perp D C$,
$ O C$ 是 e $O$ 的半径,
$\therefore C D$ 是 e $O$ 的切线;
(2) 解: $ O E / / A C$,
$\therefore \frac{B D}{O B}=\frac{C D}{C E}$
$ C D=4, C E=6$,
$\therefore \frac{B D}{O B}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$,
设 $B D=2 x$, 则 $O B=O C=3 x, O D=O B+B D=5 x$,
$ O C \perp D C$,
$\therefore \triangle O C D$ 是直角三角形,
在 Rt $\triangle \mathrm{OCD}$ 中, $O C^{2}+C D^{2}=O D^{2}$,
$\therefore(3 x)^{2}+4^{2}=(5 x)^{2}$,
解得, $x=1$,
$\therefore O C=3 x=3$, 即 e $O$ 的半径为 3 ,
$ B C / / O E$,
$$
\therefore \angle O C B=\angle E O C \text {, }
$$
在 Rt $\triangle \mathrm{OCE}$ 中, $\tan \angle E O C=\frac{E C}{O C}=\frac{6}{3}=2$,

$\therefore \tan \angle O C B=\tan \angle E O C=2$
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