单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
曲线 $y=\sqrt{x^2-2 x+4}+x$ 的渐近线的条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $I(a, b)=\int_{-\pi}^\pi(a \cos x+2 b \sin x)^2 \mathrm{~d} x$, 则 $I(a, b)$ 在 $a^2+b^2 \leqslant 1$ 上的最大值为
$\text{A.}$ $4 \pi$
$\text{B.}$ $3 \pi$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $ \pi$
点 $M(1,0,-1)$ 到直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+1=0, \\ x+y-2 z=0\end{array}\right.$ 的距离为
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{B.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{\sqrt{14}}$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right), \boldsymbol{\beta}_1$ 为 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 的解, $\boldsymbol{\beta}_2$ 不是 $\boldsymbol{A x}=0$ 的解, 又 $r(\boldsymbol{A B}) < $ $\min \{r(\boldsymbol{A}), r(\boldsymbol{B})\}$, 则 $r(\boldsymbol{A B})=$.
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 两行对调, 再将第 2 列的 2 倍加到第 3 列得 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^{\cdot}= $.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶方阵, $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, $\boldsymbol{B} \neq \boldsymbol{O}, \operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=1$, 且 $\boldsymbol{A B}+\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$, 则与 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{\cdot}$ 相 似的对角矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=0.4 \Phi(2 x-1)+0.6 \Phi\left(\frac{x-1}{2}\right)$, 则 $E(X)=$ .
$\text{A.}$ -0.4
$\text{B.}$ 0.4
$\text{C.}$ -0.8
$\text{D.}$ 0.8
下列命题中, 正确的是
$\text{A.}$ 若随机变量 $X, Y$ 服从标准正态分布, 则 $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$;
$\text{B.}$ 若随机变量 $X, Y$ 满足 $P\{X+Y=10\}=1$, 则 $\rho_{X Y}=-1$;
$\text{C.}$ 若随机变量 $X \sim N\left(0,3^2\right), Y \sim N\left(1,4^2\right)$, 则 $X+Y \sim N\left(1,5^2\right)$;
$\text{D.}$ 设随机变量 $X, Y$ 存在数学期望, 则 $X, Y$ 不相关的充要条件是 $E(X Y)=E(X) E(Y)$.
设 $X, Y$ 为两个随机变量, 其中 $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相 关系数为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 由切比雪夫不等式得 $P\{|X+Y-1| \leqslant 10\} \geqslant $ ________.
$\text{A.}$ $\frac{21}{25}$
$\text{B.}$ $\frac{87}{100}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{5}$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\arcsin x)-x}{x^3}=$
设 $y=y(x)$ 由 $\int_{x+1}^{x+y} \mathrm{e}^{-(t-x)^2} \mathrm{~d} t=x+1-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n \frac{i\left(1+\cos \frac{2 \pi i}{n}\right)^2}{n^2+i}=$
设曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2=2 x, \\ 2 x-y-z=1,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针方向, 则
$$
\oint_L y^2 \mathrm{~d} x+(z+1) \mathrm{d} y+x \mathrm{~d} z=
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 其特征值为 $2,2,-1$, 对应的线性无关的特征向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$, 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_2-2 \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$, 则 $\boldsymbol{P}^{-1}\left(\boldsymbol{A}^{\cdot}+\boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{P}=$
设总体 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-\mathrm{e}^{-(x-\theta)^2}, & x \geqslant \theta, \\ 0, & x < \theta\end{array}(\theta>0\right.$ 为末知参数 $), X_1, X_2, \cdots$, $X_n$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分 $I=\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D$ 由 $y=\sqrt{1-x^2}, y=\sqrt{2 x-x^2}$ 与 $x$ 轴所围成的区域.
设 $y=y(x)$ 由 $x^3+3 x^2 y-2 y^3=2$ 确定, 求 $y(x)$ 的极值.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导,且 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)}{x-1}=2$. 证明：
(1) 存在 $c \in(0,1)$, 使得 $f(c)=0$;
(2) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$;
(3) 存在 $\eta \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)-3 f^{\prime}(\eta)+2 f(\eta)=0$.
设 $u=f(x, y)$ 满足 $\mathrm{d} u=y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$, 且 $f(0,0)=1$, 计算 $\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截的部分.
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}a & 3 \\ 1 & b \\ 2 & -1\end{array}\right)$.
(1) $a, b$ 取何值时,矩阵方程 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有解;
(2) 求 $\boldsymbol{X}$.
设随机变墨 $X$ 在 $(1,4)$ 上服从均匀分布, 当 $X=x(1 < x < 4)$ 时, 随机变量 $Y$ 的条件密度 函数为 $f_{Y \mid X}(y \mid x)= \begin{cases}\frac{3 y^2}{x^3}, & 0 < y < x \text {, } \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}$
(1) 求 $Y$ 的密度函数;
(2) 求 $X, Y$ 的相关系数;
(3) 令 $Z=X-Y$, 求 $Z$ 的分布函数.