单选题 （共 12 题 ），每题只有一个选项正确
设 $z=\dfrac{2+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}^2+\mathrm{i}^5} $ ，则 $ \bar{z}=$
$\text{A.}$ $1-2 \mathrm{i}$
$\text{B.}$ $1+2 \mathrm{i}$
$\text{C.}$ $2-\mathrm{i}$
$\text{D.}$ $2+\mathrm{i}$
设集合 $U=R$, 集合 $M=\{x \mid x < 1\}, N=\{x \mid-1 < x < 2\}$, 则 $\{x \mid x \geqslant 2\}=$
$\text{A.}$ $\complement_U(M \cup N)$
$\text{B.}$ $N \cup \complement_U M$
$\text{C.}$ $\complement_U(M \cap N)$
$\text{D.}$ $M \cup \complement_U N$
如图, 网格纸上绘制的一个零件的三视图, 网格小正方形的边长为 1 , 则该零件的表面积为
$\text{A.}$ 24
$\text{B.}$ 26
$\text{C.}$ 28
$\text{D.}$ 30
已知 $f(x)=\frac{x e^x}{\mathrm{e}^{a x}-1}$ 是偶函数, 则 $a=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $O$ 为平面坐标系的坐标原点, 在区域 $\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4\right\}$ 内随机取一点, 记该点为 $A$, 则直线 $O A$ 的 倾斜角不大于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率为
$\text{A.}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 单调递增, 直线 $x=\frac{\pi}{6}$ 和 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 为函数 $y=f(x)$ 的图像的 两条对称轴, 则 $f\left(-\frac{5 \pi}{12}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
甲乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种, 则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有
$\text{A.}$ 30 种
$\text{B.}$ 60 种
$\text{C.}$ 120 种
$\text{D.}$ 240 种
已知圆锥 $P O$ 的底面半径为 $\sqrt{3}, O$ 为底面圆心, $P A, P B$ 为圆雉的母线, $\angle A O B=120^{\circ}$, 若 $\triangle P A B$ 的面积 等于 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$, 则该圆锥的体积为
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $\sqrt{6} \pi$
$\text{C.}$ $3 \pi$
$\text{D.}$ $3 \sqrt{6} \pi$
已知 $\triangle A B C$ 为等腰直角三角形, $A B$ 为斜边, $\triangle A B D$ 为等边三角形, 若二面角 $C-A B-D$ 为 $150^{\circ}$, 则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{5}$
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公差为 $\frac{2 \pi}{3}$, 集合 $S=\left\{\cos a_n \mid n \in N^*\right\}$, 若 $S=\{a, b\}$, 则 $a b=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
设 $A, B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点, 下列四个点中, 可为线段 $A B$ 中点的是
$\text{A.}$ $(1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(-1,-4)$
已知 $\odot O$ 的半径为 1 , 直线 $P A$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$, 直线 $P B$ 与 $\odot O$ 交于 $B, C$ 两点, $D$ 为 $B C$ 的中点, 若 $|P O|=\sqrt{2}$, 则 $\overrightarrow{P A} \cdot \overrightarrow{P D}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1+2 \sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $1+\sqrt{2}$
$\text{D.}$ $2+\sqrt{2}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知点 $A(1, \sqrt{5})$ 在抛物线 $C: y^2=2 p x$ 上, 则 $A$ 到 $C$ 的准线的距离为
若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-3 y \leqslant-1 \\ x+2 y \leqslant 9 \\ 3 x+y \geqslant 7\end{array}\right.$, 则 $z=2 x-y$ 的最大值为
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, $a_2 a_4 a_5=a_3 a_6, a_9 a_{10}=-8$, 则 $a_7=$
设 $a \in(0,1)$, 若函数 $f(x)=a^x+(1+a)^x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应, 进行 10 次配对试验, 每次配对试验选用材质相 同的两个橡胶产品, 随机地选其中一个用甲工艺处理, 另一个用乙工艺处理, 测量处理后的橡胶产品的 伸缩率, 甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为 $x_i, y_i(\mathrm{i}=1,2, \cdots 10)$, 试验结果如下
在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $\angle B A C=120^{\circ}, A B=2, A C=1$.
(1) 求 $\sin \angle A B C$;
(2) 若 $D$ 为 $B C$ 上一点, 且 $\angle B A D=90^{\circ}$, 求 $\triangle A D C$ 的面积.
如图, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, $A B \perp B C, A B=2, B C=2 \sqrt{2}, P B=P C=\sqrt{6}$, $B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O, A D=\sqrt{5} D O$, 点 $F$ 在 $A C$ 上, $B F \perp A O$.
(1) 证明: $E F / /$ 平面 $A D O$;
(2) 证明: 平面 $A D O \perp$ 平面 $B E F$;
(3) 求二面角 $D-A O-C$ 的正弦值.
已知椭圆 $C: \frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 点 $A(-2,0)$ 在 $C$ 上.
(1) 求 $C$ 的方程;
(2) 过点 $(-2,3)$ 的直线交 $C$ 于点 $P, Q$ 两点, 直线 $A P, A Q$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $M, N$, 证明: 线段 $M N$ 的 中点为定点.
已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{x}+a\right) \ln (1+x)$.
(1) 当 $a=-1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程;
(2) 是否存在 $a, b$, 使得曲线 $y=f\left(\frac{1}{x}\right)$ 关于直线 $x=b$ 对称, 若存在, 求 $a, b$ 的值, 若不存在, 说明理由.
(3) 若 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 存在极值, 求 $a$ 的取值范围.
在直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \sin \theta\left(\frac{\pi}{4} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$, 曲线 $C_2:\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos \alpha \\ y=2 \sin \alpha\end{array}\left(\alpha\right.\right.$ 为参数, $\left.\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\right)$.
(1) 写出 $C_1$ 的直角坐标方程;
(2) 若直线 $y=x+m$ 既与 $C_1$ 没有公共点, 也与 $C_2$ 没有公共点,求 $m$ 的取值范围.
已知 $f(x)=2|x|+|x-2|$.
(1) 求不等式 $f(x) \leqslant 6-x$ 的解集;
(2) 在直角坐标系 $x O y$ 中, 求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}f(x) \leqslant y \\ x+y-6 \leqslant 0\end{array}\right.$ 所确定的平面区域的面积.