单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
定义 $\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|=a d-b c$ ，已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，且 $a_3=1,\left|\begin{array}{cc}a_6 & 8 \\ 8 & a_8\end{array}\right|=0$ ，则 $a_7=$
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ $\pm 4$
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ $\pm 8$
数列 $\left\{F_n\right\}$ 满足 $F_1=F_2=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\left(n \in \mathbf{N}^*\right)$ ，现求得 $\left\{F_n\right\}$ 的通项公式为 $F_n=A \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n+B \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n$ ， $A, B \in \mathbf{R}$ ，若 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^8\right]$ 的值为
$\text{A.}$ 43
$\text{B.}$ 44
$\text{C.}$ 45
$\text{D.}$ 46
0－1 周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 $a_1 a_2 \cdots a_n \cdots$ 满足 $a_i \in\{0,1\}(i=1,2, \cdots)$ ，且存在正整数 $m$ ，使得 $a_{i+m}=a_i(i=1,2, \cdots)$ 成立，则称其为 $0-1$ 周期序列，并称满足 $a_{i+m}=a_i(i=1,2, \cdots)$ 的最小正整数 $m$ 为这个序列的周期．对于周期为 $m$ 的 0－1 序列 $a_1 a_2 \cdots a_n \cdots, C(k)=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m a_i a_{i+k}(k=1,2, \mathrm{~L}, m-1)$ 是描述其性质的重要指标，下列周期为 5 的 0－1 序列中，满足 $C(k) \leq \frac{1}{5}(k=1,2,3,4)$ 的序列是
$\text{A.}$ $11010 \cdots$
$\text{B.}$ $11011 \cdots$
$\text{C.}$ $10001 \ldots$
$\text{D.}$ $11001 \cdots$
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，把它连续两项 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的差记为 $b_n=a_{n+1}-a_n$ 得到一个新数列 $\left\{b_n\right\}$ ，称数列 $\left\{b_n\right\}$ 为原数列 $\left\{a_n\right\}$的一阶差数列．若 $c_n=b_{n+1}-b_n$ ，则数列 $\left\{c_n\right\}$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的二阶差数列，以此类推，可得数列 $\left\{a_n\right\}$ 的 $p$ 阶差数列．如果某数列的 $p$ 阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为 $p$ 阶等差数列，如数列 $1,3,6,10$ ．它的前后两项之差组成新数列 2，3，4．新数列 2，3，4 的前后两项之差再组成新数列 1，1，1，新数列 1，1， 1为非零常数列，则数列 $1,3,6,10$ 称为二阶等差数列．已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$ ，且 $S_n=\frac{1}{3} a_n(n+2)$ ，则下列结论中正确的有
$\text{A.}$ 数列 $\left\{a_n\right\}$ 为二阶等差数列
$\text{B.}$ 数列 $\left\{S_n\right\}$ 为三阶等差数列
$\text{C.}$ 数列 $\left\{\frac{1}{a_n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n-1}{n}$
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{b_n\right\}$ 为 $k$ 阶等差数列，则 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $\left\{T_n\right\}$ 为 $(k+1)$ 阶等差数列
如果有限数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_i=a_{n-i+1}(i=1,2, ..., n)$ ，则称其为＂对称数列＂，设 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 $2 k-1\left(k \in \mathrm{~N}^*\right)$ 的＂对称数列＂，其中 $b_k, b_{k+1}, ..., b_{2 k-1}$ 是首项为 50 ，公差为 -4 的等差数列，则（ ）
$\text{A.}$ 若 $k=10$ ，则 $b_1=10$
$\text{B.}$ 若 $k=10$ ，则 $\left\{b_n\right\}$ 所有项的和为 590
$\text{C.}$ 当 $k=13$ 时，$\left\{b_n\right\}$ 所有项的和最大
$\text{D.}$ $\left\{b_n\right\}$ 所有项的和可能为 0
如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 $A_i\left(x_i, y_i\right)$ ，其中 $i=1,2,3, \ldots, n, \ldots$ ，且 $x_i, y_i \in Z$ 。记 $a_n=x_n+y_n$ ，如 $A_1(0,0)$ ，即 $a_1=0, A_2(1,0)$ ，即 $a_2=1, A_3(1,-1)$ ，即 $a_3=0, \ldots$ ，以此类推．设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则
$\text{A.}$ $a_{2023}=43$
$\text{B.}$ $S_{2023}=-87$
$\text{C.}$ $a_{8 n}=2 n$
$\text{D.}$ $S_{4 n^2+5 n+1}=\frac{3 n(n+1)}{2}$
设正整数 $n=a_0 \cdot 2^0+a_1 \cdot 2+\mathrm{L}+a_{k-1} \cdot 2^{k-1}+a_k \cdot 2^k$ ，其中 $a_i \in\{0,1\}$ ，记 $\omega(n)=a_0+a_1+\mathrm{L}+a_k$ ．则
$\text{A.}$ $\omega(2 n)=\omega(n)$
$\text{B.}$ $\omega(2 n+3)=\omega(n)+1$
$\text{C.}$ $\omega(8 n+5)=\omega(4 n+3)$
$\text{D.}$ $\omega\left(2^n-1\right)=n$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知数列 $\left\{a_n\right\}, a_i \in\{-1,0,1\}, i=1,2,3,4,5,6$ ．满足条件＂ $1 \leq a_1+a_2+\cdots+a_6 \leq 3$＂的数列的个数为
定义：对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果存在常数 $p$ ，使得对于任意 $n \in \mathrm{~N}^*$ ，都有 $\left(a_{n+1}-p\right)\left(a_n-p\right) < 0$ ，成立，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂$p$－摆动数列＂，$p$ 称为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的摆动值．若 $a_n=\left(-\frac{1}{2}\right)^n+q^n(q>0)$ ，且数列 $\left\{a_n\right\}$ 的摆动值为 0 ，则 $q$ 的取值范围为
对于数列 $\left\{a_n\right\}$ ，如果 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 为等差数列，则称原数列 $\left\{a_n\right\}$ 为二阶等差数列，一般地，如果 $\left\{a_{n+1}-a_n\right\}$ 为 $K$ 阶等差数列，就称原数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $K+1$ 阶等差数列．现有一个三阶等差数列，其前 7 项分别为 $1,4,10,20$ ， $35,56,84$ ，则该数列的第 8 项为
某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电子阅览系统的登录码由学生的届别 + 班级 + 学号 + 特别码构成．这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间下方得到。以此类推特别码是学生届别数对应表中相应行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届 3 班 21 号学生的登陆码为 1997321＊。（＊为表中第 1997 行第一个数的个位数字）．若已知某毕业生的登录码为 $201 * 2138$ ，则可以推断该毕业生是 $\_\_\_\_$届 2 班 13 号学生．
数学家祖冲之曾给出圆周率 $\pi$ 的两个近似值：＂约率＂$\frac{22}{7}$ 与＂密率＂$\frac{355}{113}$ 。它们可用＂调日法＂得到：称小于 3.1415926 的近似值为弱率，大于 3.1415927 的近似值为强率．由 $\frac{3}{1} < \pi < \frac{4}{1}$ ，取 3 为弱率， 4 为强率，得 $a_1=\frac{3+4}{1+1}=\frac{7}{2}$ ，故 $a_1$ 为强率，与上一次的弱率 3 计算得 $a_2=\frac{3+7}{1+2}=\frac{10}{3}$ ，故 $a_2$ 为强率，继续计算，…… 若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知 $a_m=\frac{22}{7}$ ，则 $m=$ $\_\_\_\_$ ；$a_8=$ $\_\_\_\_$ ．
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在数列 $\left\{a_n\right\}$ 中，若 $a_{n+1}-a_1 a_2 a_3 \cdots a_n=d\left(n \in \mathrm{~N}^*\right)$ ，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂泛等差数列＂，常数 $d$ 称为＂泛差＂．已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是一个＂泛等差数列＂，数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n-b_n$ ．
（1）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的＂泛差＂$d=1$ ，且 $a_1, a_2, a_3$ 成等差数列，求 $a_1$ ；
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 的＂泛差＂$d=-1$ ，且 $a_1=\frac{1}{2}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项 $b_n$ ．
如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 对任意的 $n \in \mathrm{~N}^*, a_{n+2}-a_{n+1}>a_{n+1}-a_n$ ，则称 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂．
（1）请写出一个速增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂，且任意项 $a_n \in \mathrm{Z}, a_1=1, a_2=3, a_k=2023$ ，求正整数 $k$ 的最大值．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $S_n=2^n+1$ ．
（1）求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）保持 $\left\{a_n\right\}$ 中各项先后顺序不变，在 $a_k$ 与 $a_{k+1}$ 之间插入 $k$ 个 1 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{b_n\right\}$ ，记 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，求 $T_{100}$ 的值（用数字作答）．
在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次＂和扩充＂．如数列1，2第 1 次＂和扩充＂后得到数列1，3，2，第 2 次＂和扩充＂后得到数列 1，4，3，5，2．设数列 $a, b, c$ 经过第 $n$ 次＂和扩充＂后所得数列的项数记为 $P_n$ ，所有项的和记为 $S_n$ ．
（1）若 $a=1, b=2, c=3$ ，求 $P_2, S_2$ ；
（2）设满足 $P_n \geq 2023$ 的 $n$ 的最小值为 $n_0$ ，求 $n_0$ 及 $S^{-} \frac{n_0}{3}$ 。（其中 $[x]$ 是指不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]=1$ ， $[-2.6]=-3) ;$
定义矩阵运算：$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{a x+b y}{c x+d y}$ ．已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ，且
$$
\left(\begin{array}{ll}
n & 1 \\
1 & n
\end{array}\right)\binom{a_n}{b_n}=\binom{n^2+2^n}{n\left(2^n+1\right)}
$$
（1）证明：$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别为等差数列，等比数列．
（2）求数列 $\left\{a_{2 n}+3 b_{2 n-1}+1\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．
数列 $A_n: a_1, a_2, \cdots, a_n(n \geq 2)$ 满足 $a_i \in\{-1,1\}(i=1,2, \cdots, n)$ ，称 $T_n=a_1 \cdot 2^{n-1}+a_2 \cdot 2^{n-2}+a_3 \cdot 2^{n-3}+\cdots+a_{n-1} \cdot 2^1+a_n \cdot 2^0$为数列 $A_n$ 的指数和．
（1）若 $n=3$ ，求 $T_3$ 所有可能的取值；
（2）求证：数列 $A_n$ 的指数和 $T_n < 0$ 的充分必要条件是 $a_1=-1$ ．
已知 $Q: a_1, a_2, \cdots, a_k$ 为有穷整数数列．给定正整数 $m$ ，若对任意的 $n \in\{1,2, \cdots, m\}$ ，在 $Q$ 中存在 $a_i, a_{i+1}, a_{i+2}, \cdots, a_{i+j}(j \geq 0)$ ，使得 $a_i+a_{i+1}+a_{i+2}+\cdots+a_{i+j}=n$ ，则称 $Q$ 为 $m-$ 连续可表数列．
（1）判断 $Q: 2,1,4$ 是否为 $5-$ 连续可表数列？是否为 $6-$ 连续可表数列？说明理由；
（2）若 $Q: a_1, a_2, \cdots, a_k$ 为 8 －连续可表数列，求证：$k$ 的最小值为 4 ；
（3）若 $Q: a_1, a_2, \cdots, a_k$ 为20－连续可表数列，且 $a_1+a_2+\cdots+a_k < 20$ ，求证：$k \geq 7$ ．