如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 $A_i\left(x_i, y_i\right)$ ，其中 $i=1,2,3, \ldots, n, \ldots$ ，且 $x_i, y_i \in Z$ 。记 $a_n=x_n+y_n$ ，如 $A_1(0,0)$ ，即 $a_1=0, A_2(1,0)$ ，即 $a_2=1, A_3(1,-1)$ ，即 $a_3=0, \ldots$ ，以此类推．设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，则
A. $a_{2023}=43$
B. $S_{2023}=-87$
C. $a_{8 n}=2 n$
D. $S_{4 n^2+5 n+1}=\frac{3 n(n+1)}{2}$