定义矩阵运算：$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)\binom{x}{y}=\binom{a x+b y}{c x+d y}$ ．已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=1$ ，且
$$
\left(\begin{array}{ll}
n & 1 \\
1 & n
\end{array}\right)\binom{a_n}{b_n}=\binom{n^2+2^n}{n\left(2^n+1\right)}
$$
（1）证明：$\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 分别为等差数列，等比数列．
（2）求数列 $\left\{a_{2 n}+3 b_{2 n-1}+1\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ ．