如果数列 $\left\{a_n\right\}$ 对任意的 $n \in \mathrm{~N}^*, a_{n+2}-a_{n+1}>a_{n+1}-a_n$ ，则称 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂．
（1）请写出一个速增数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
（2）若数列 $\left\{a_n\right\}$ 为＂速增数列＂，且任意项 $a_n \in \mathrm{Z}, a_1=1, a_2=3, a_k=2023$ ，求正整数 $k$ 的最大值．