单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列各数中, 最大的数是
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $0$
$\text{D.}$ $2$
据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有 $26.8$ 万 人次游览了植物园和动物园, 则数据 $26.8$ 万用科学记数法表 示正确的是
$\text{A.}$ $268 \times 10^3$
$\text{B.}$ $26.8 \times 10^4$
$\text{C.}$ $ 2.68 \times 10^5$
$\text{D.}$ $0.268 \times 10^6$
下列计算正确的是
$\text{A.}$ $a^3+a^3=a^6$
$\text{B.}$ $(x-3)^2=x^2-9$
$\text{C.}$ $a^3 \cdot a^3=a^6$
$\text{D.}$ $\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
表是某校合唱团成员的年龄分布
对于不同的 $x$, 下列关于年龄的统计量不会发生改变的是
$\text{A.}$ 平均数、中位数
$\text{B.}$ 众数、中位数
$\text{C.}$ 平均数、方差
$\text{D.}$ 中位数、方差
若关于 $x$ 的方程 $k x^2+2 x-1=0$ 有两个不相等的实数 根，则 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $ k>-1 $
$\text{B.}$ $ k < -1 $
$\text{C.}$ $k \geq-1 \text { 且 } k \neq 0$
$\text{D.}$ $k>-1 \text { 且 } k \neq 0$
在菱形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 再添加一个条件, 仍不能判定四边形 $A B C D$ 是矩形的是
$\text{A.}$ $A B=A D$
$\text{B.}$ $O A=O B$
$\text{C.}$ $ AC=B D$
$\text{D.}$ $DC \perp B C$
阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学, 若此 班次电车共有 5 节车相, 且阿信从任意一节车相上车的机会相 等, 小怡从任意一节车厢上车的机会相等, 则两人从同一节车 廂上车的概率为何
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{10}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{25}$
如图, 在已知的 $\triangle A B C$ 中, 按以下步骤作图：(1)分 别以 $B 、 C$ 为圆心, 以大于 $\frac{1}{2} B C$ 的长为半径作弧, 两弧相交于 点 $M 、 N$; (2)作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D$, 连接 $C D$, 若 $C D=A D$, $\angle B=20^{\circ}$, 则下列结论中错误的是
$\text{A.}$ $\angle C A D=40^{\circ}$
$\text{B.}$ $\angle A C D=70^{\circ}$
$\text{C.}$ 点 $D$ 为 $\triangle A B C$ 的外心
$\text{D.}$ $\angle A C B=90^{\circ}$
在 Rt $\triangle A B C$ 中, $D$ 为斜边 $A B$ 的中点, $\angle B=60^{\circ}$, $B C=2 \mathrm{~cm}$, 动点 $E$ 从点 $A$ 出发沿 $A B$ 向点 $B$ 运动, 动点 $F$ 从 点 $D$ 出发, 沿折线 $D-C-B$ 运动, 两点的速度均为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, 到达终点均停止运动, 设 $A E$ 的长为 $x, \triangle A E F$ 的面积为 $y$, 则 $y$ 与 $x$ 的图象大致为
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $x=\sqrt{2}-1$, 则 $x^2+2 x+1=$
已知反比例函数 $y=\frac{\pi-2}{x}$, 当 $x>0$ 时, $y$ 随 $x$ 增大而 减小，则 $m$ 的取值范围是
不等式$\left\{\begin{array}{l}
3 x-5>1 \\
5 x-a \leqslant 12
\end{array}\right.$ 有2个整数解，则a的取值范围为
如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$, $A C=\sqrt{3}$, 分别以点 $A, B$ 为圆心, $A C, B C$ 的长为半径画弧, 交 $A B$ 于点 $D, E$, 则图中阴影部分的面积是
如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $\angle A=60^{\circ}, A B=3$, 点 $M$ 为 $A B$ 边上一点, $A M=2$, 点 $N$ 为 $A D$ 边上的一动点, 沿 $M N$ 将 $\triangle A M N$ 翻折, 点 $A$ 落在点 $P$ 处，当点 $P$ 在菱形的对角线上 时, $A N$ 的长度为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
先化简, 再求值: $\frac{x^2+4 x+4}{x+1} \div\left(\frac{3}{x+1}-x+1\right)$, 其中 $x=\sin 30^{\circ}+2^{-1}+\sqrt{4}$.
如图, $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 且 $A B=A C$, 延长 $B C$ 到点 $D$, 使 $C D=C A$, 连接 $A D$ 交圆 $O$ 于点 $E$.
(1) 求证: $\triangle A B E \cong \triangle C D E$;
(2) 填空:
①当 $\angle A B C$ 的度数为 时, 四边形 $A O C E$ 是菱形.
② 若 $A E=\sqrt{3}, A B=2 \sqrt{2}$, 则 $D E$ 的长为
为更精准地关爱留守学生, 某学校将留守学生的各 种情形分成四种类型: $A$. 由父母一方照看; $B$. 由爹爹奶奶照看；
C. 由叔姨等近亲照看； $D$. 直接寄宿学校. 某数学小组随机调查 了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的 $20 \%$,
并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图.
(1) 该班共有 （ ） 名留守学生, $B$ 类型留守学生所在扇形 的圆心角的度数为
(2) 将条形统计图补充完整;
(3) 已知该校共有 2400 名学生, 现学校打算对 $D$ 类型的留 守学生进行手拉手关爱活动, 请你估计该校将有多少名留守学 生在此关爱活动中受益?
如图, 某小区有甲、乙两座楼房, 楼间距 $B C$ 为 50
米, 在乙楼顶部 $A$ 点测得甲楼顶部 $D$ 点的仰角为 $37^{\circ}$, 在乙楼 底部 $B$ 点测得甲楼顶部 $D$ 点的仰角为 $60^{\circ}$, 则甲、乙两楼的高 度为多少? (结果精确到 1 米, $\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80$, $\tan 37^{\circ} \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.73$ )
如图, 在平面直角坐标系中, $O$ 为坐标原点, $\triangle A B O$ 的边 $A B$ 垂直于 $x$ 轴, 垂足为点 $B$, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x < 0)$ 的图象经过 $A O$ 的中点 $C$, 交 $A B$ 于点 $D$. 若点 $D$ 的坐标为（$4, n)$ ， 且 $A D=3$.
（1）求反比例函数 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$ 的表达式；
（2）求经过 $C 、 D$ 两点的直线所对应的函数解析式；
(3) 设点 $E$ 是线段 $C D$ 上的动点 (不与点 $C 、 D$ 重合), 过点 $E$ 且平行 $y$ 轴的直线 $l$ 与反比例函数的图象交于点 $F$, 求 $\triangle O E F$ 面积的最大值.
当今, 越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》 后, 更加喜欢同名科幻小说, 该小说销量也急剧上升.书店为 满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元.根据以往经验: 当销售单价是 25 元时, 每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店 要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元.
(1) 直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量 $y$ (本) 与销售单价 $x$ (元) 之间的函数关系式及自变量的取值范围.
（2）书店决定每销售 1 本该科幻小说, 就捐赠 $a(0 < a \leq 6)$ 元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为 1960 元, 求 $a$ 的值.
【问题提出】在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C \neq B C$, 点 $D$ 和 点 $A$ 在直线 $B C$ 的同侧, $B D=B C, \angle B A C=\alpha, \angle D B C=\beta$, 且 $\alpha+\beta=120^{\circ}$, 连接 $A D$, 求 $\angle A D B$ 的度数. (不必解答)
【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究, 当 $\alpha=90^{\circ}, \beta=30^{\circ}$ 时, 利用轴对称知识, 以 $A B$ 为对称轴构造 $\triangle A B D$ 的轴对称图 形 $\triangle A B D^{\prime}$ ，连接 $C D^{\prime}$ (如图 2), 然后利用 $\alpha=90^{\circ}, \beta=30^{\circ}$ 以 及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.
请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空: $\triangle D^{\prime} B C$ 的形状是 （ ） 三角形; $\angle A D B$ 的度数为 （ ）
【问题解决】
在原问题中, 当 $\angle D B C < \angle A B C$ (如图 1) 时, 请计算 $\angle A D B$ 的度数 （ ）
【拓展应用】在原问题中, 过点 $A$ 作直线 $A E \perp B D$, 交直线 $B D$ 于 $E$, 其他条件不变若 $B C=7, A D=2$. 请直接写出线段 $B E$ 的长为 （ ）
如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1$, $0)$, 点 $B(3,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 且过点 $D(2,-3)$. 点 $P 、 Q$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
(2) 当点 $P$ 在直线 $O D$ 下方时, 求 $\triangle P O D$ 面积的最大值.
(3) 直线 $O Q$ 与线段 $B C$ 相交于点 $E$, 当 $\triangle O B E$ 与 $\triangle A B C$ 相 似时, 求点 $Q$ 的坐标.
