2023年全国中考数学第一轮模拟考试

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2023年全国中考数学第一轮模拟考试

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 下列各数中, 最大的数是

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{4}

C.

0

D.

2

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2. 据统计，今年“五一”小长假期间，我市约有

26.8

万人次游览了植物园和动物园, 则数据

26.8

万用科学记数法表示正确的是

A.

268 \times 10^{3}

B.

26.8 \times 10^{4}

C.

2.68 \times 10^{5}

D.

0.268 \times 10^{6}

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3. 如图是将正方体切去一个角后形成的几何体，则该几何体的左视图为

A.

B.

C.

D.

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4. 下列计算正确的是

A.

a^{3} + a^{3} = a^{6}

B.

(x - 3)^{2} = x^{2} - 9

C.

a^{3} \cdot a^{3} = a^{6}

D.

\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}

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5. 表是某校合唱团成员的年龄分布

对于不同的

x

, 下列关于年龄的统计量不会发生改变的是

A.

平均数、中位数

B.

众数、中位数

C.

平均数、方差

D.

中位数、方差

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6. 若关于

x

的方程

k x^{2} + 2 x - 1 = 0

有两个不相等的实数根，则

k

的取值范围是

A.

k > - 1

B.

k < - 1

C.

k \geq - 1 且 k \neq 0

D.

k > - 1 且 k \neq 0

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7. 在菱形

A B C D

中, 对角线

A C

与

B D

相交于点

O

, 再添加一个条件, 仍不能判定四边形

A B C D

是矩形的是

A.

A B = A D

B.

O A = O B

C.

A C = B D

D.

D C ⊥ B C

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8. 阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学, 若此班次电车共有 5 节车相, 且阿信从任意一节车相上车的机会相等, 小怡从任意一节车厢上车的机会相等, 则两人从同一节车廂上车的概率为何

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{1}{5}

C.

\frac{1}{10}

D.

\frac{1}{25}

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9. 如图, 在已知的

△ A B C

中, 按以下步骤作图：(1)分别以

B 、 C

为圆心, 以大于

\frac{1}{2} B C

的长为半径作弧, 两弧相交于点

M 、 N

; (2)作直线

M N

交

A B

于点

D

, 连接

C D

, 若

C D = A D

∠ B = 20^{\circ}

, 则下列结论中错误的是

A.

∠ C A D = 40^{\circ}

B.

∠ A C D = 70^{\circ}

C.

点

D

为

△ A B C

的外心

D.

∠ A C B = 90^{\circ}

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10. 在 Rt

△ A B C

中,

D

为斜边

A B

的中点,

∠ B = 60^{\circ}

B C = 2 cm

, 动点

E

从点

A

出发沿

A B

向点

B

运动, 动点

F

从点

D

出发, 沿折线

D - C - B

运动, 两点的速度均为

1 cm / s

, 到达终点均停止运动, 设

A E

的长为

x, △ A E F

的面积为

y

, 则

y

与

x

的图象大致为

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

11. 若

x = \sqrt{2} - 1

, 则

x^{2} + 2 x + 1 =

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12. 已知反比例函数

y = \frac{π - 2}{x}

, 当

x > 0

时,

y

随

x

增大而减小，则

m

的取值范围是

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13. 不等式

{\begin{cases} 3 x - 5 > 1 \\ 5 x - a ⩽ 12 \end{cases}

有2个整数解，则a的取值范围为

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14. 如图, 在 Rt

△ A B C

中,

∠ A C B = 90^{\circ}, ∠ A = 30^{\circ}

A C = \sqrt{3}

, 分别以点

A, B

为圆心,

A C, B C

的长为半径画弧, 交

A B

于点

D, E

, 则图中阴影部分的面积是

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15. 如图, 在菱形

A B C D

中,

∠ A = 60^{\circ}, A B = 3

, 点

M

为

A B

边上一点,

A M = 2

, 点

N

为

A D

边上的一动点, 沿

M N

将

△ A M N

翻折, 点

A

落在点

P

处，当点

P

在菱形的对角线上时,

A N

的长度为

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

16. 先化简, 再求值:

\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 1} \div (\frac{3}{x + 1} - x + 1)

, 其中

x = \sin 30^{\circ} + 2^{- 1} + \sqrt{4}

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17. 如图,

△ A B C

内接于圆

O

, 且

A B = A C

, 延长

B C

到点

D

, 使

C D = C A

, 连接

A D

交圆

O

于点

E

.
(1) 求证:

△ A B E ≅ △ C D E

;
(2) 填空:
①当

∠ A B C

的度数为时, 四边形

A O C E

是菱形.
② 若

A E = \sqrt{3}, A B = 2 \sqrt{2}

, 则

D E

的长为

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18. 为更精准地关爱留守学生, 某学校将留守学生的各种情形分成四种类型:

A

. 由父母一方照看;

B

. 由爹爹奶奶照看；
C. 由叔姨等近亲照看；

D

. 直接寄宿学校. 某数学小组随机调查了一个班级，发现该班留守学生数量占全班总人数的

20 %

,
并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图.

(1) 该班共有（　　）名留守学生,

B

类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为
(2) 将条形统计图补充完整;
(3) 已知该校共有 2400 名学生, 现学校打算对

D

类型的留守学生进行手拉手关爱活动, 请你估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益?

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19. 如图, 某小区有甲、乙两座楼房, 楼间距

B C

为 50
米, 在乙楼顶部

A

点测得甲楼顶部

D

点的仰角为

37^{\circ}

, 在乙楼底部

B

点测得甲楼顶部

D

点的仰角为

60^{\circ}

, 则甲、乙两楼的高度为多少? (结果精确到 1 米,

\sin 37^{\circ} \approx 0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.80

\tan 37^{\circ} \approx 0.75, \sqrt{3} \approx 1.73

)

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20. 如图, 在平面直角坐标系中,

O

为坐标原点,

△ A B O

的边

A B

垂直于

x

轴, 垂足为点

B

, 反比例函数

y = \frac{k}{x} (x < 0)

的图象经过

A O

的中点

C

, 交

A B

于点

D

. 若点

D

的坐标为（

4, n)

，且

A D = 3

.
（1）求反比例函数

y = \frac{k}{x}

的表达式；
（2）求经过

C 、 D

两点的直线所对应的函数解析式；
(3) 设点

E

是线段

C D

上的动点 (不与点

C 、 D

重合), 过点

E

且平行

y

轴的直线

l

与反比例函数的图象交于点

F

, 求

△ O E F

面积的最大值.

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21. 当今, 越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后, 更加喜欢同名科幻小说, 该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20 元.根据以往经验: 当销售单价是 25 元时, 每天的销售量是 250 本；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 本，书店要求每本书的利润不低于 10 元且不高于 18 元.
(1) 直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量

y

(本) 与销售单价

x

(元) 之间的函数关系式及自变量的取值范围.
（2）书店决定每销售 1 本该科幻小说, 就捐赠

a (0 < a \leq 6)

元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为 1960 元, 求

a

的值.

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22. 【问题提出】在

△ A B C

中,

A B = A C \neq B C

, 点

D

和点

A

在直线

B C

的同侧,

B D = B C, ∠ B A C = α, ∠ D B C = β

, 且

α + β = 120^{\circ}

, 连接

A D

, 求

∠ A D B

的度数. (不必解答)

【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究, 当

α = 90^{\circ}, β = 30^{\circ}

时, 利用轴对称知识, 以

A B

为对称轴构造

△ A B D

的轴对称图形

△ A B D^{'}

，连接

C D^{'}

(如图 2), 然后利用

α = 90^{\circ}, β = 30^{\circ}

以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题.

请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空:

△ D^{'} B C

的形状是（　　）三角形;

∠ A D B

的度数为（　　）

【问题解决】
在原问题中, 当

∠ D B C < ∠ A B C

(如图 1) 时, 请计算

∠ A D B

的度数（　　）

【拓展应用】在原问题中, 过点

A

作直线

A E ⊥ B D

, 交直线

B D

于

E

, 其他条件不变若

B C = 7, A D = 2

. 请直接写出线段

B E

的长为（　　）

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23. 如图, 抛物线

y = a x^{2} + b x + c

与

x

轴交于点

A (- 1

0)

, 点

B (3, 0)

, 与

y

轴交于点

C

, 且过点

D (2, - 3)

. 点

P 、 Q

是抛物线

y = a x^{2} + b x + c

上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
(2) 当点

P

在直线

O D

下方时, 求

△ P O D

面积的最大值.
(3) 直线

O Q

与线段

B C

相交于点

E

, 当

△ O B E

与

△ A B C

相似时, 求点

Q

的坐标.

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