如图, 抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-1$, $0)$, 点 $B(3,0)$, 与 $y$ 轴交于点 $C$, 且过点 $D(2,-3)$. 点 $P 、 Q$ 是抛物线 $y=a x^2+b x+c$ 上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
(2) 当点 $P$ 在直线 $O D$ 下方时, 求 $\triangle P O D$ 面积的最大值.
(3) 直线 $O Q$ 与线段 $B C$ 相交于点 $E$, 当 $\triangle O B E$ 与 $\triangle A B C$ 相 似时, 求点 $Q$ 的坐标.