2021高等数学《微积分》摸底测试与答案

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2021高等数学《微积分》摸底测试与答案

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 函数

z = \ln (1 - x y)

在点

(0, 1)

处的全微分

d z =

A.

d x

B.

- d x

C.

d y

D.

- d y

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2. 函数

z = z (x, y)

由方程

z^{3} - 3 x y z = 1

确定, 则

\frac{\partial z}{\partial x} =

A.

\frac{y z}{z^{2} - x y}

B.

\frac{- y z}{z^{2} - x y}

C.

\frac{z^{2} - x y}{y z}

D.

\frac{z^{2} - x y}{- y z}

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3. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq R^{2}}

, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ =

A.

π R^{3}

B.

\frac{2 π R^{3}}{3}

C.

π R^{2}

D.

2 π R^{2}

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4. 下列级数中发散的级数是

A.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{n (n + 1)}

B.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{2}}

C.

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}

D.

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{n}{n + 1})}^{n}

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5. 微分方程

y^{''} - y^{'} + 2 y = x e^{2 x}

的特解

y^{*}

的形式可设为

A.

{axe}^{2 x}

B.

(a x + b) e^{2 x}

C.

(a x + b) x e^{2 x}

D.

a x^{2} e^{2 x}

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二、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 函数

z = 5 x^{2} y

在点

(1, 0)

处沿方向

\vec{l} = (3, - 4)

的方向导数

\frac{\partial z}{\partial l} =

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7. 由

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

表示的立体图形的体积

V =

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8. 设闭区域

D

由光滑曲线

L

围成,

D

的面积等于

2, L

是

D

的取正向的边界曲线, 则

\oint_{L} 2 y d x - 3 x d y =

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9. 将函数

f (x) = x (x - 2) (0 \leq x \leq 2)

展开成周期为 4 的正弦级数, 其和函数为

S (x)

, 则

S (- 3) =

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10. 微分方程

y^{'} = 3 x^{2} y

在条件

{y |}_{x = 0} = 1

下的特解为

y =

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三、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 设

z = f (x - y, x^{2} y), f

具有连续的二阶偏导数, 求

\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}

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12. 交换二次积分

I = \int_{0}^{\sqrt{π}} d x \int_{x}^{\sqrt{π}} \sin y^{2} d y

的次序, 并且求出

I

的值.

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13. 计算

\iint_{Σ} x^{3} d y d z + y^{3} d x d z

, 其中

Σ

为圆柱面

x^{2} + y^{2} = R^{2}

介于平面

z = 0

和

z = h

之间部分的外侧.

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14. 将函数

f (x) = \frac{x - 2}{2 + x}

展开成

(x - 2)

的幂级数, 并指出其收敛域.

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15. 求解微分方程的初值问题:

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = 0, {y |}_{x = 0} = 1, {y^{'} |}_{x = 0} = 2

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16. 求点

(2, 2, 0)

到曲面

x^{2} + y^{2} - 2 z = 0

的最短距离.

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17. 已知曲线积分

\int_{L} [2 e^{x} - f (x)] y^{2} d x + 2 y f (x) d y

与路径无关, 其中

f (x)

具有连续的导数, 且

f (0) = 1

, 求

f (x)

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18. 设

a_{n} = \int_{1}^{e} (\ln x)^{\sqrt{n}} d x

, 证明: 级数

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}

收敛

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