单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
一盒产品中有 $\boldsymbol{a}$ 只正品, $\boldsymbol{b}$ 只次品, 有放回地任取两次, 第二次取到正品的概率为
$\text{A.}$ $\frac{a-1}{a+b-1}$;
$\text{B.}$ $\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}$
$\text{C.}$ $\frac{a}{a+b}$;
$\text{D.}$ $(\frac{a}{a+b})^2$.
设随机变量 $\mathrm{X}$ 的概率密度为 $\boldsymbol{p}(\boldsymbol{x})=\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{c} \quad 1 < x < 3 \\ \mathbf{0}, \quad \text { 其他 }\end{array}\right.$ 则方差 $\mathrm{D}(\mathrm{X})=$
$\text{A.}$ $2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $3$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$.
设 $A 、 B$ 为两个互不相容的随机事件, 且 $P(B)>0$, 则下列选项必然正确的是
$\text{A.}$ $P(A)=1-P(B)$
$\text{B.}$ $P(A \mid B)=0 $
$\text{C.}$ $P(A \mid B)=1$
$\text{D.}$ $P(\overline{A B})=0$
设 $f(x)=\sin x$ 是某个连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数, 则 $X$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $[0, \quad \pi]$
$\text{C.}$ $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right]$
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=a X-b$, 其中 $a 、 b$ 为常数, 且 $a \neq 0$, 则 $Y \sim$
$\text{A.}$ $N\left(a \mu-b, \quad a^2 \sigma^2+b^2\right)$;
$\text{B.}$ $N\left(a \mu+b, \quad a^2 \sigma^2-b^2\right)$;
$\text{C.}$ $N\left(a \mu+b, \quad a^2 \sigma^2\right)$
$\text{D.}$ $N\left(a \mu-b, \quad a^2 \sigma^2\right)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 相互独立, 且 $P(A \cup B)=0.8, P(A)=0.2$, 则 $P(B)=$
已知 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 且 $P\{2 < X < 4\}=0.3$, 则 $P\{X < 0\}=$
设 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 相互独立, 且 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=\mathbf{2}, \boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{3}, \boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{1}$, 则 $E\left[(X-Y)^2\right]=$
设 $\boldsymbol{X}_1, \boldsymbol{X}_2, \cdots, \boldsymbol{X}_n$ 是取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的样本, 则统计量 $\frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^n\left(\boldsymbol{X}_i-\mu\right)^2$ 服从 （ ） 分布.
设 $X \sim B(2, p), Y \sim B(3, p)$, 且 $P\{X \geq 1\}=\frac{5}{9}$, 则 $P\{Y \geq 1\}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲乙两人独立地对同一目标射击一次, 其命中率分别为 $0.5$ 和 $0.4$, 现已知目标被命中, 求它是 乙命中的概率.
设随机变量 $\mathrm{X}$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{A}{e^x+e^{-x}}$, 求:
(1) 常数 A;
(2) $P\left\{0 < X < \frac{1}{2} \ln 3\right\}$;
(3) 分布函数 $F(x)$.
设随机变量 $\mathrm{X}$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}6 x(1-x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ 求 $Y=2 X+1$ 的概率密度.
将一枚硬币连掷三次, $\mathrm{X}$ 表示三次中出现正面的次数, $\mathrm{Y}$ 表示三次中出现正面次数与出现反面
次数之差的绝对值,
求:
(1)$ (X, Y)$ 的联合概率分布;
(2) $P\{Y>X\}$.
二维随机变量 $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}A e^{-(x+2 y)}, & x>0, y>0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$
求: (1) 系数 $\mathrm{A} ;(2) \mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的边缘密度函数; (3) 问 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 是否独立。
设总体 $\mathrm{X}$ 的密度函数为 $f(x, \beta)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{\beta}{x^{\beta+1}}, & x>1 \\ 0, & x \leq 1\end{array}\right.$
其中末知参数 $\beta>1, X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为取自总体 $\mathrm{X}$ 的简单随机样本, 求参数 $\beta$ 的矩估计量和极大似然估计量.
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中且 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 都末知, $-\infty < \mu < +\infty, \sigma^2>0$. 现从总体 $X$ 中抽取容量 $n=16$ 的样本观测值 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_{16}\right)$, 算 出 $\bar{x}=\frac{1}{16} \sum_{i=1}^{16} x_i=503.75$, $s=\sqrt{\frac{1}{15} \sum_{i=1}^{16}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}=6.2022$, 试在置信水平 $1-\alpha=0.95$ 下, 求 $\mu$ 的置信区间.
(已知: $t_{0.05}(15)=1.7531, t_{0.05}(16)=1.7459, t_{0.025}(15)=2.1315, t_{0.025}(16)=2.1199$ ) .