延安大学《概率论与数理统计》期末考试模拟试卷（1）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设随机变量 $\mathrm{X}$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{A}{e^x+e^{-x}}$, 求:
(1) 常数 A;
(2) $P\left\{0 < X < \frac{1}{2} \ln 3\right\}$;
(3) 分布函数 $F(x)$.

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答案：

（1）由 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=1$, 即 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{A}{e^x+e^{-x}} d x=A \cdot \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^x}{1+\left(e^x\right)^2} d x=\left.A \cdot \arctan e^x\right|_{-\infty} ^{+\infty}=\frac{\pi}{2} A=1$ 所以 $A=\frac{2}{\pi}$.
$$
\text { (2) } \begin{aligned}
P\{0 < X & \left. < \frac{1}{2} \ln 3\right\}=\frac{2}{\pi} \cdot \int_0^{\frac{1}{2} \ln 3} \frac{d x}{e^x+e^{-x}}=\frac{2}{\pi} \cdot \int_0^{\frac{1}{2} \ln 3} \frac{e^x}{1+\left(e^x\right)^2} d x \\
= & \left.\frac{2}{\pi} \cdot \arctan e^x\right|_0 ^{\frac{1}{2} \ln 3}=\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{6}
\end{aligned}
$$
(3) 分布函数 $F(x)=\int_{-\infty}^x f(t) d t=\frac{2}{\pi} \cdot \int_{-\infty}^x \frac{d t}{e^t+e^{-t}}=\frac{2}{\pi} \arctan e^x$

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