延安大学《概率论与数理统计》期末考试模拟试卷（1）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

二维随机变量 $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})$ 的概率密度为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}A e^{-(x+2 y)}, & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$
求: (1) 系数 $\mathrm{A} ;(2) \mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 的边缘密度函数; (3) 问 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 是否独立。

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答案：

解: (1) 由 $1=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=\int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} A e^{-(x+2 y)} d x d y$
$$
=A \int_0^{+\infty} e^{-x} d x \int_0^{+\infty} e^{-2 y} d y=\frac{1}{2} A
$$
所以 $A=2$.
(2) $\mathrm{X}$ 的边缘密度函数: $f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y=\left\{\begin{array}{cc}e^{-x} & x > 0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.

$\mathrm{Y}$ 的边缘密度函数: $f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x=\left\{\begin{array}{cc}2 e^{-2 y} & y > 0 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$.

(3) 因 $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$, 所以 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 是独立的.

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