一、填空题 (共 10 题 ),请把答案直接填写在答题纸上
1. 已知 ,求 的值
2. 化简:
3. 若 , 且 , 则 的最小值为
4. 已知 , 且 , 则 的最小值为
5. 若正数 满足 , 则 的最大值为
6. 已知正实数 满足 , 则 的最小值为
7. 若 , 则 的最小值为
8. 已知实数 满足 , 则 的最大值为
9. 非负实数 , 满足 , 则 的最大 值为
10. 已知 , 求 的最小值
二、解答题 (共 4 题 ),解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
11. 说到方程,最简单的是一元一次方程,就是一个未知数,一个方程构成的,还有二元一次方程组,三元一次方程组,他们的未知数个数与方程个数是相等的,但还有一类方程,未知数个数多于方程的个数,比如:,是由两个未知数,一个方程构成的,这类方程的解由无数多个,由于这类方程的解是不定的,数学上就把它叫做不定方程.
对不定方程的研究,我国古代很早就开始了,《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”,就是突出的一例,题目大意是:
五户人家各出固定长度的绳索作井绳,已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳,以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深,问井深和各户绳长各几何?
12. 《张丘建算经》上记载的”百鸡问题“.
古文: 今有鸡翁一,值钱五; 鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?
现代文:公鸡一只值钱五,母鸡一只值钱三,小鸡三只值钱一.今有一百钱,买鸡一百只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?
13. 抽屉原理(也被称作鸽巢原理)。将
个物体,放入
个抽屉里,那么有至少一个抽屉有两个(或以上)的物体。这个定理看起来比较显然,证明方法考虑反证法:假如每个分组有至多
个物体,那么最多有
个物体,而实际上有
个物体,矛盾。

例如:桌上有5个苹果,要把这5个苹果放到4个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于2个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为:“如果每个抽屉代表一个集合,每一个苹果就可以代表一个元素,假如有n+1个元素放到n个集合中去,其中必定有一个集合里至少有两个元素。”, 同理 将
个物体,划分为
组,那么至少存在一个分组,含有大于或等于
个物品。
问题:有300人到招聘会求职,其中软件设计有100人,市场营销有80人,财务管理有70人,人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢?
14. 在高中,我们学过了阶乘,其定义为
, 这里
为0或者正整数,其中规定
, 例如
, 那么你知道
是多少吗?