填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\left(m^2+\frac{1}{m^2}-4\right)^2=36$，求 $m-\frac{1}{m}$ 的值
化简： $ \cos x \cos 2 x \cos 4 x \cdots \cos 2^n x $
若 $a>0, b>0$, 且 $a+b=2$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的最小值为
已知 $x>0, y>0$, 且 $x+2 y=1$, 则 $\frac{2 y}{x+1}+\frac{1}{2 y}$ 的最小值为
若正数 $x, y$ 满足 $x^2+4 y^2+x+2 y=1$, 则 $x y$ 的最大值为
已知正实数 $x, y$ 满足 $x y+2 x+3 y=42$, 则 $x y+5 x+4 y$ 的最小值为
若 $a>2 b>0$, 则 $(a-b)^2+\frac{9}{b(a-2 b)}$ 的最小值为
已知实数 $a, b, c$ 满足 $a^2+b^2+c^2=1$, 则 $a b+b c+2 c a$ 的最大值为
非负实数 $x$, $y$ 满足 $x^2+4 y^2+4 x y+4 x^2 y^2=32$, 则 $\sqrt{7}(x+2 y)+2 x y$ 的最大 值为
已知 $x, y \geq 0, x+y \leq 1$, 求 $4 x^2+4 y^2+(1-x-y)^2$ 的最小值
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
说到方程，最简单的是一元一次方程，就是一个未知数，一个方程构成的，还有二元一次方程组，三元一次方程组，他们的未知数个数与方程个数是相等的，但还有一类方程，未知数个数多于方程的个数，比如：,是由两个未知数，一个方程构成的，这类方程的解由无数多个，由于这类方程的解是不定的，数学上就把它叫做不定方程.
对不定方程的研究，我国古代很早就开始了，《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”，就是突出的一例，题目大意是：
五户人家各出固定长度的绳索作井绳，已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳，以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深，问井深和各户绳长各几何?
《张丘建算经》上记载的”百鸡问题“.
古文: 今有鸡翁一，值钱五; 鸡母一，值钱三;鸡雏三，值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?
现代文：公鸡一只值钱五，母鸡一只值钱三，小鸡三只值钱一.今有一百钱，买鸡一百只，问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?
抽屉原理（也被称作鸽巢原理）。将 $n+1$ 个物体，放入$n$个抽屉里，那么有至少一个抽屉有两个（或以上）的物体。这个定理看起来比较显然，证明方法考虑反证法：假如每个分组有至多 $1$ 个物体，那么最多有 $1\times n$ 个物体，而实际上有 $n+1$ 个物体，矛盾。
例如：桌上有5个苹果，要把这5个苹果放到4个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于2个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。”， 同理 将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，那么至少存在一个分组，含有大于或等于 $\left \lceil \dfrac{n}{k} \right \rceil$ 个物品。
问题：有300人到招聘会求职，其中软件设计有100人，市场营销有80人，财务管理有70人，人力资源管理有50人。那么至少有多少人找到工作才能保证一定有70人找的工作专业相同呢？
在高中，我们学过了阶乘，其定义为 $ n!= 1 *2*3 \cdot \cdot \cdot n$, 这里$n$为0或者正整数，其中规定 $0!=1$, 例如 $5!=1*2*3*4*5=120$ , 那么你知道 $(\dfrac{1}{2})!$ 是多少吗？
