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非负实数 $x$, $y$ 满足 $x^2+4 y^2+4 x y+4 x^2 y^2=32$, 则 $\sqrt{7}(x+2 y)+2 x y$ 的最大值为

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答案：

利用柯西不等式 $ \left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2 $ 当且仅当$ a d=b c$ 时成立

解: $(\sqrt{7}(x+2 y)+2 x y)^2 \leq\left((x+2 y)^2+(2 x y)^2\right)\left((\sqrt{7})^2+1\right)=32 \cdot 8 $

即 $\sqrt{7}(x+2 y)+2 x y \leq 16$

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