题号:4112    题型:解答题    来源:挑战 入库日期 2023/1/18 15:06:10
《张丘建算经》上记载的”百鸡问题“.
古文: 今有鸡翁一,值钱五; 鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱买鸡百只.问鸡翁、母、雏各几何?
现代文:公鸡一只值钱五,母鸡一只值钱三,小鸡三只值钱一.今有一百钱,买鸡一百只,问公鸡、母鸡、小鸡各买几只?
【答案】 设公鸡,母鸡,小鸡数量分别为 $x, y, z$ 只,那么依题意得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
100=x+y+z \\
100=5 x+3 y+\frac{1}{3} z
\end{array}\right.
$$
$(2) \times 3-(1)$ 得 $7 x+4 y=100,(3)$
(3) $-(1) \times 4$ 得 $3 x-4 z=300,(4)$
由上面结果可知鸡翁数须是 4 的倍数, 不妨设为 4 , 则可求得鸡母数 18 , 小鸡数 78 , 这就是一组特解.
而方程组 $\left\{\begin{array}{l}7 x+4 y=0, \\ -3 x+4 z=0,\end{array}\right.$ 的解为
$$
\left\{\begin{array}{l}
x=4 t \\
y=-7 t \\
z=3 t
\end{array}\right.
$$
故原方程的通解公式为 $\left\{\begin{array}{l}x=4+4 t \\ y=18-7 t \\ z=78+3 t\end{array} \quad(x, y, z\right.$ 分别表示公鸡,母鸡,小鸡的只数, $t$ 为整数.)
由于公鸡母鸡小鸡数都是正整数,因此公鸡,母鸡,小鸡个数分别为: $(4 , 18 , 78)$; $(8,11,81) ;(12,4,84)$.
小鸡的数量可能是 $78,81,84$.


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