说到方程，最简单的是一元一次方程，就是一个未知数，一个方程构成的，还有二元一次方程组，三元一次方程组，他们的未知数个数与方程个数是相等的，但还有一类方程，未知数个数多于方程的个数，比如：,是由两个未知数，一个方程构成的，这类方程的解由无数多个，由于这类方程的解是不定的，数学上就把它叫做不定方程.
对不定方程的研究，我国古代很早就开始了，《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”，就是突出的一例，题目大意是：
五户人家各出固定长度的绳索作井绳，已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳，以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深，问井深和各户绳长各几何?
【答案】 其实这是一个不定方程组问题，设井深为 $l$ 个单位长度，甲、乙、丙、丁、戊绳长分别为 $x, y, z, w, u$ 个长度单位，那么依题意得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
l=2 x+y, \\
l=3 y+z, \\
l=4 z+w, \\
l=5 w+u, \\
l=6 u+x,
\end{array}\right.
$$
这个方程组是由 6 个末知数和 5 个方程构成的六元一次不定方程组.
由 (1)得 $y=1-2 x .(6)$
(6)代入( 2 )得
$$
l=3(l-2 x)+z, \Longrightarrow z=6 x-2 l
$$
(7) 代入( 3 )得
$$
l=4(6 x-2 l)+w, \Longrightarrow w=9 l-24 x
$$
(8)代入( 4 )得
$$
l=5(9 l-24 x)+u, \Longrightarrow u=120 x-44 l
$$
(9) 代入(5)得
$$
l=6(120 x-44 l)+x, \Longrightarrow 265 l=721 x \text { (10) }
$$
方程(10)是二元一次不定方程, 它的解有无数个.
由观察可知, $l=721$ 时, $x=265$,
从而得
$$
y=191, z=148, w=129, u=76 .
$$
如果取寸为单位长 (这比较符合实际)，就得
井深为721寸，甲、乙、丙、丁、戊绳长各为265、191、148、129、76寸.