题号:4111    题型:解答题    来源:挑战 入库日期 2023/1/18 15:04:31
说到方程,最简单的是一元一次方程,就是一个未知数,一个方程构成的,还有二元一次方程组,三元一次方程组,他们的未知数个数与方程个数是相等的,但还有一类方程,未知数个数多于方程的个数,比如:,是由两个未知数,一个方程构成的,这类方程的解由无数多个,由于这类方程的解是不定的,数学上就把它叫做不定方程.

对不定方程的研究,我国古代很早就开始了,《九章算术》方程章中的第“5家共井问题”,就是突出的一例,题目大意是:

五户人家各出固定长度的绳索作井绳,已知甲户 2 绳加乙户 1绳、乙户 3 绳加丙户 1 绳、丙户 4 绳加丁户 1 绳、丁户 5 绳加戊户 1 绳,以及戊户 6 绳加甲户 1 绳都恰好等于井深,问井深和各户绳长各几何?

【答案】 其实这是一个不定方程组问题,设井深为 $l$ 个单位长度,甲、乙、丙、丁、戊绳长分别为 $x, y, z, w, u$ 个长度单位,那么依题意得方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
l=2 x+y, \\
l=3 y+z, \\
l=4 z+w, \\
l=5 w+u, \\
l=6 u+x,
\end{array}\right.
$$
这个方程组是由 6 个末知数和 5 个方程构成的六元一次不定方程组.
由 (1)得 $y=1-2 x .(6)$
(6)代入( 2 )得
$$
l=3(l-2 x)+z, \Longrightarrow z=6 x-2 l
$$
(7) 代入( 3 )得
$$
l=4(6 x-2 l)+w, \Longrightarrow w=9 l-24 x
$$
(8)代入( 4 )得
$$
l=5(9 l-24 x)+u, \Longrightarrow u=120 x-44 l
$$
(9) 代入(5)得
$$
l=6(120 x-44 l)+x, \Longrightarrow 265 l=721 x \text { (10) }
$$
方程(10)是二元一次不定方程, 它的解有无数个.
由观察可知, $l=721$ 时, $x=265$,
从而得
$$
y=191, z=148, w=129, u=76 .
$$
如果取寸为单位长 (这比较符合实际),就得
井深为721寸,甲、乙、丙、丁、戊绳长各为265、191、148、129、76寸.


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解答题 来源:2022-2023南宁中学数学第三次模拟考试
为了了解甲、乙两所学校学生体质健康情况, 对两所学校各 500 名学生进入体质健康测试. 现从两校记录的学生体质健康测试结果中, 分别随机抽取 50 名学生的成绩(百分制), 并对数据 (成绩) 进行整理、描述和分析, 下面给出 了部分信息. ①甲学校学生成绩的频数分布直方图如图: (数据分成 6 组: $40 \leqslant x<50,50 \leqslant x<60,60 \leqslant x$ $<70,70 \leqslant x<80,80 \leqslant x<90,90 \leqslant x<100$ ). ②甲学校学生成绩在 $80 \leqslant x<90$ 这一组是: $$ \begin{array}{llllllllllllllll} 80 & 80 & 81 & 81.5 & 82 & 83 & 83 & 84 & 85 & 86 & 86.5 & 87 & 88 & 88.5 & 89 & 89 \end{array} $$ ③乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率 (85 分及以上为优秀) 如下 [img=/uploads/2022/fc650f.jpg,width=500px][/img] 根据以上信息, 回答下列问题: (1) 甲学校学生 $A$, 乙学校学生 $B$ 的体质健康测试成绩同为 83 分, 这两人在本校学生中 体质健康测试成绩排名更靠前的是 (填 “ $A$ ” 或 “ $B$ ”); (2) 根据上述信息, 推断. 学校体质健康测试成绩的水平更高, 请说明理由(至少 从两个不同的角度说明推断的合理性): (3)估算甲乙两所学校进行体质健康测试的 1000 名学生中, 成绩优秀(85 分及以上)共 有多少名学生?