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已知 $x, y \geq 0, x+y \leq 1$, 求 $4 x^2+4 y^2+(1-x-y)^2$ 的最小值

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答案：

利用柯西不等式 $ \left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right) \geq(a c+b d)^2 $ 当且仅当$ a d=b c$ 时成立
解: $\left(4 x^2+4 y^2+(1-x-y)^2\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+1\right)$
$\geq\left(\left(\sqrt{4 x^2 \cdot \frac{1}{4}}+\sqrt{4 y^2 \cdot \frac{1}{4}}+\sqrt{(1-x-y)^2}\right)^2=1\right.$
$4 x^2+4 y^2+(1-x-y)^2 \geq \frac{2}{3}$
等号在 $4 x=4 y=1-x-y$ 处取得, 即 $x=y=\frac{1}{6}$ 时取得

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