解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图像和矩形 $A B C D$ 都在第一象限，$A D$ 平行于 $x$轴，且 $A B=1, A D=2$ ，点 $A$ 的坐标为 $(1,4)$ ．
（1）直接写出 $B, C, D$ 三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点 $A 、 C$ 恰好同时落在反比例函数的图像上，请求出矩形的平移距离和 $k$ 的值．
如图，矩形 $A B C D$ 的两边 $B C=4, C D=6, E$ 是 $C D$ 的中点，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 的图象经过点 $E$ ，与 $A B$ 交于点 $F$ ．
（1）若点 $B$ 点的坐标为 $(-6,0)$ ，求 $k$ 的值；
（2）连接 $A E$ ，若 $A F=A E$ ，求反比例函数的表达式．
已知 $M 、 N$ 为双曲线 $y=\frac{4}{x}(x>0)$ 上两点，且其横坐标分别为 $a, a+2$ ，分别过 $M 、 N$ 作 $y$ 轴、 $x$ 轴的垂线，垂足分别为 $C 、 A$ ，交点为 $B$ ．
（1）若矩形 $O A B C$ 的面积为 12 ，求 $a$ 的值；
（2）随着 $a$ 的取值的不同，$M 、 N$ 两点不断运动，判断 $M$ 能否为 $B C$ 边的中点，同时 $N$ 为 $A B$ 中点？请说明理由；
（3）矩形 $O A B C$ 能否成为正方形？若能，求出此时 $a$ 的值及正方形的边长，若不能，说明理由．
如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $B$ 的坐标为 $(8,4), O A, O C$ 分别落在 $x$ 轴和 $y$ 轴上，将 $\triangle$ $O A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转，使点 $B$ 落在 $y$ 轴上，得到 $\triangle O D E, O D$ 与 $C B$ 相交于点 $F$ ，反比例函数 $y=$ $\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象经过点 $F$ ，交 $A B$ 于点 $G$ ．
（1）求 $k$ 的值．
（2）连接 $F G$ ，则图中是否存在与 $\triangle F B G$ 相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．
（3）点 $M$ 在直线 $O D$ 上，$N$ 是平面内一点，当四边形 $G F M N$ 是正方形时，请直接写出点 $N$ 的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $C$ 与原点 $O$ 重合，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $A$ 在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的图象上，点 $D$ 的坐标为 $(4,3)$ ．
（1）求 $k$ 的值及 $A B$ 所在直线的函数表达式；
（2）将这个菱形沿 $x$ 轴正方向平移，当顶点 $D$ 落在反比例函数图象上时，求菱形平移的距离．
如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点 $D$ 在 $y$ 轴上，$A, C$ 两点的坐标分别为 $(4,0),(4, m)$ ，直线 $C D: y=a x+b(a \neq 0)$ 与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象交于 $C, P(-8,-2)$ 两点．
（1）求该反比例函数的解析式及 $m$ 的值；
（2）判断点 $B$ 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，四边形 $O A B C$ 是菱形，点 $A$ 在 $y$ 轴正半轴上，点 $B$ 的坐标是 $(-4,8)$ ，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x < 0)$ 的图像经过点 $C$ ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点 $D$ 在边 CO 上，且 $\frac{C D}{D O}=\frac{3}{4}$ ，过点 $D$ 作 $D E \| x$ 轴，交反比例函数的图像于点 $E$ ，求点 $E$ 的坐标．
如图，一次函数 $y=k_1 x+1$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k_2}{x}\left(k_2>0\right)$ 的图象相交于 $A 、 B$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，点 $D(1,-2)$ ，连接 $O A 、 O D 、 O C 、 A C$ ，四边形 $O A C D$ 为菱形．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）设点 $P$ 是直线 $A B$ 上一动点，且 $S_{\triangle O A P}=\frac{1}{2} S_{\text {棱形 } O A C D}$ ，求点 $P$ 的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 B$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ $(x>0)$ 的图象经过点 $C, O A=2, O B=4$ ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴向右平移得到正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ，当点 $D^{\prime}$ 在反比例函数的图象上时，请求出点 $B^{\prime}$的坐标，并判断点 $B^{\prime}$ 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
如图，正方形 $O A B C$ 在平面直角坐标系中，点 $B$ 的坐标是 $(2,2)$ ，顶点 $A 、 C$ 在坐标轴上，反比例函数 $y$ $=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 在第一象限的图象分别交 $B C 、 B A$ 于 $E 、 F$ ，连接 $O E 、 C F$ 交于 $M, \triangle O E C$ 的面积等于 1 ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求四边形 $O A F M$ 的面积．
如图，四边形 $A O B C$ 是的正方形，$D$ 为 $B C$ 中点，以 $O$ 为坐标原点，$O A, O B$ 所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，$A$ 点坐标 $(0,4)$ ，过点 $D$ 的反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象与边 $A C$ 交于 $E$ 点，$F$ 是线段 $O B$上的一动点．
（1）求 $k$ 的值并直接写出点 $E$ 的坐标；
（2）若 $A D$ 平分 $\angle C A F$ ，求出 $F$ 点的坐标；
（3）若 $\triangle A F D$ 的面积为 $S_1, \triangle A F O$ 的面积为 $S_2$ ．若 $S_1: S_2=3: 2$ ，判断四边形 $A E F O$ 的形状．并说明理由．(右图为备用图)
