如图，在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的顶点 $A 、 B$ 分别在 $x$ 轴、 $y$ 轴的正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ $(x>0)$ 的图象经过点 $C, O A=2, O B=4$ ．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形 $A B C D$ 沿 $x$ 轴向右平移得到正方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ ，当点 $D^{\prime}$ 在反比例函数的图象上时，请求出点 $B^{\prime}$的坐标，并判断点 $B^{\prime}$ 是否在该反比例函数的图象上，说明理由．